2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Система уравнений
Сообщение02.03.2006, 14:40 


20/01/06
107
Уже второй день не могу решить систему: $$\left\{\begin{array}{с}
(y-1)*(xy-2x+y-1)= 4x^2+4x+2,\\ 
y+3x= 4(x+1)^3\end{array}\right.$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2006, 15:42 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Элементарные соображения дают, что -1<х<0 и имеется по крайней мере одно решение. Но дальше не удается подбирать какой нибудь корень. Поэтому возникает вопрос нет ли ошибки в коэффициентах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание из вступительных рейтингов
Сообщение02.03.2006, 16:04 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
Три корня есть вот такие: {x = -1, y = 3}, {x = (-1)/2, y = 2}, {x = (-1)/2, y = 2}. Может это поможет найти остальные из того, что осталось?

$y=4(x+1)^3-3x$
$4x^4+20x^3+33x^2+21x+7=0$

Только тут все корни остаются комплексные

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2006, 16:11 


20/01/06
107
Руст писал(а):
Элементарные соображения дают, что -1<х<0 и имеется по крайней мере одно решение. Но дальше не удается подбирать какой нибудь корень. Поэтому возникает вопрос нет ли ошибки в коэффициентах?

Поделитесь, плиз, "элементарными соображениями"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание из вступительных рейтингов
Сообщение02.03.2006, 16:12 


20/01/06
107
photon писал(а):
Три корня есть вот такие: {x = -1, y = 3}, {x = (-1)/2, y = 2}, {x = (-1)/2, y = 2}. Может это поможет найти остальные из того, что осталось?

$y=4(x+1)^3-3x$
$4x^4+20x^3+33x^2+21x+7=0$

Только тут все корни остаются комплексные


Это два решения! 8-) Как Вы их нашли? (Тока не говорите, что в мапле)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание из вступительных рейтингов
Сообщение02.03.2006, 16:20 
Экс-модератор
Аватара пользователя


23/12/05
12046
4arodej писал(а):
Это два решения! 8-) Как Вы их нашли? (Тока не говорите, что в мапле)


Во-первых, не два, а три - просто два решения совпадают, во-вторых, не скрываю - именно в Maple, но теперь вы знаете, что можно, выразив из второго уравнения $y$ и подставив в первое, получить выражение, которое можно разложить на множители:
$(x+\frac{1}{2})^2(x+1)(4x^4+20x^3+33x^2+21x+7)=0$
Как показать, что оставшееся выражение не имеет действительных корней? выделить сумму полной четвертой степени и полного квадрата так, чтобы ушли нечетные степени. Честно говоря лень это выписывать, но полная четвертая степень будет $4(x+\frac{5}{4})^4$ и в конечном счете Вы получите сумму четных степеней плюс положительная константа

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2006, 16:51 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Элементарные соображения заключается в рассмотрении первого уравнения как квадратного относительно у (я правда для дальнейшего упрощения вводил переменные х+1 и у-1, но это не обязательно). Так как справа положительная величина и корни левой части элементарно находятся, оценка противоречит второму в случае положительности х+1. Вообще то при х+1 равным нулю уравнение становится не квадратным, поэтому этот случай требуется рассмотреть отдельно и он дает решение у=3. А для остальных из интервала (-1,0). Я поленился, а может ошибся в вычислениях, чтобы найти корни с х=-1.2.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.03.2006, 17:53 


20/01/06
107
Руст писал(а):
Элементарные соображения заключается в рассмотрении первого уравнения как квадратного относительно у (я правда для дальнейшего упрощения вводил переменные х+1 и у-1, но это не обязательно). Так как справа положительная величина и корни левой части элементарно находятся, оценка противоречит второму в случае положительности х+1. Вообще то при х+1 равным нулю уравнение становится не квадратным, поэтому этот случай требуется рассмотреть отдельно и он дает решение у=3. А для остальных из интервала (-1,0). Я поленился, а может ошибся в вычислениях, чтобы найти корни с х=-1.2.

Ладно, не будем ссориться из-за терминологии: для меня два решения, одно из которых имеет кратность 2 8-). Первое я нахожу аналогично, а вот второе ... Вызить y и подставить это трудно на экзамене. Мне кажется они просят другое решение.
Например, очевидно, что правая часть в первом уравнении не меньше 1 и в точности 1, если x=-1/2. Можно доказать, что левая часть не больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задание из вступительных рейтингов
Сообщение03.03.2006, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Заменим $x = u -1$, $y = v+1$ и имеем систему: \left\{ \begin{array}{c} u v^2 - u v + v = 4 u^2 - 4u + 2,\\ v+3u-2= 4u^3\end{array}.

Вычитая теперь из первого уравнения второе, имеем: $u v^2 - uv -3 u + 2 = 4u^2 - 4 u - 4 u^3 +2$, или, после переноса в левую часть:
$u (v^2 - v - 4u +  1 + 4 u^2 ) = 0$. Откеле одно из решений системы $u = 0, v = 2$. Другие же определяются системой$\left\{ \begin{array}{c}
v^2 - v - 4u +  1 + 4 u^2 = 0, \\ v+3u-2= 4u^3\end{array}$.

Теперича имеем $\left\{\begin{array}{c} (2u - 1)^2 = v-v^2 = -v(v-1), \\ v-1= 4u^3-3u+1 = (2u-1)^2(u+1)\end{array}$. Подставляя $v-1$ в первое уравнение имеем опять делимость $(2 u -1)^2(1+v(u+1)) = 0$, из которой находим второе (кратное) решение $u = 1/2, v = 1$.

Остаточная же система $\left\{\begin{array}{c} v(u+1)+1 = 0, \\ v= 4u^3-3u+2\end{array}$ сводится к уравнению четвертого порядка подстановкой $v$ из второго уравнения в первое. Доказывать отсутствие вещественных корней у него -- удовольствие маленькое, но его таки можно разложить в сумму квадратов, как и заметил photon.

Ясен пень, переход к новым переменным по существу не нужен. Но как без него высмотреть все эти делимости -- не знаю. А путь сей проходим и на бумаге.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group