2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37  След.
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение07.10.2016, 17:21 
Аватара пользователя


08/12/11
85
СПб
Здесь главное, что известна структура многогранника: $m$ граней размера 3, $m$ граней размера 4, $m$ граней размера 5, $m$ граней размера 6, $m-3$ грани размера 7 и одна грань размера $5m-3$.
Изображение
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение07.10.2016, 18:28 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
Построил 18-гранник для $m=4$. (Всего со 2-й попытки, быстрее чем 13-гранник для случая $m=3$.)

У меня есть книжка: Grünbaum, B., Convex Polytopes, 2nd. edition, Springer-Verlag, New York, 2003 (first edition, 1967, Wiley-Interscience) из списка по ссылке grizzly.
Кому интересно пишите в личку.

PS: Пока формулировал уже и случай $m=6$ появился!
А для $m=3$ я пытался построить симметричную картинку. Но у меня вышла только кривая :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение08.10.2016, 13:35 
Аватара пользователя


08/12/11
85
СПб
Если фигуру, показанную на рис. 1, вклинить между двух пятиугольников (рис. 2), то один из пятиугольников превратится в шестиугольник, а другой - в семиугольник (рис. 3).
Изображение
Изображение
Изображение
В многограннике, представленном VAL (рис. 4), есть соседние пятиугольники, в клине тоже есть соседние пятиугольники, которые останутся и в результирующей фигуре, поэтому получен, по крайней мере, один регулярный способ построения бесконечной серии рассматриваемых многогранников.
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение09.10.2016, 15:10 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
===========ММ215===============

мм215 (4 балла)

На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Дмитрия Пашуткина и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Эта задача оказалась первой в нынешнем конкурсе, вызвавшей затруднение сразу у нескольких участников.
Несколько неожиданно для меня даже разрезание призмы на 10 тетраэдров удалось найти не всем.
Более ожидаемыми были затруднения с доказательством минимальности 10 тетраэдров.
Авторское решение выглядело примерно так:
В верхней и нижней гранях лежат основания не менее чем 8 тетраэдров разбиения. Их суммарный объем - не более $\frac23$ объема призмы. Однако объем одного тетраэдра, содержащегося в шестиугольной призме, не может составлять треть объема призмы. Ну и предъявить разрезание на 10 тетраэдров.
При этом не заморачивался с доказательством утверждения, выделенного курсивом, понадеявшись, что это сделают конкурсанты (и они, в целом, не подвели :-)).
Кроме того, я надеялся, что участники придумают и другие интересные обоснования минимальности 10 тетраэдров, не связанные с подсчетом объемов.
Но здесь оказалось все не так просто. Другие обоснования были предложены. но либо недостаточно строгие, либо слишком путаные, либо то и другое вместе.
В частности, я испытывал затруднения в оценке строгости решения Дмитрия Пашуткина. В нем вызывает вопросы обоснованность фразы:
"Оставшаяся часть призмы разрезана гранями восьми тетраэдров с гранями на основаниях, и оставшийся многогранник будет иметь более четырех граней." . После некоторых сомнений я решил исходить из "презумпции невиновности", т.е. считать, что Дмитрий не привел подробностей лишь на том основании, что они ему очевидны.

В некоторых других случаях (когда недостаточно обоснованных допущений было больше одного) я учел это при выставлении баллов за задачу. (Иногда изъятые баллы скомпенсировались дополнительными.)

Интересно, что два способа разрезания шестиугольной призмы на 10 тетраэдров (отсечение шести тетраэдров с последующим разрезанием октаэдра; разрезание призмы на две четырехугольных с последующим разрезанием каждой на пять тетраэдров) оказались примерно равнопопулярны среди конкурсантов.

В связи с рассмотрением ММ211 у меня возник интересный вопрос.
Будем проводить "тетраэдризацию" многогранников по следующим правилам:
За один шаг можно разрезать многогранник (исходный или полученный на одном из предыдущих шагов и рассматриваемый отдельно) плоскостью, проходящей не менее чем через 3 вершины многогранника. процесс продолжаем до тех пор, пока исходный многогранник не разобьется на тетраэдры.

Легко видеть, что всякая n-угольная пирамида разобьется на $n-2$ тетраэдра.
Для куба (четырехугольной призмы) имеем уже два возможных ответа: 5 и 6.
Для треугольной бипирамиды возможные ответы 2 и 4 уже не являются соседними числами.
Таким образом, у каждого многогранника возникает любопытные характеристики: минимальное количество тетраэдров (в "тетраэдризации", проведенной по вышеописанным правилам); максимальное количество тетраэдров; набор возможных количеств тетраэдров...
Или, все же, не у каждого?

Сначала мне показалось, что конечность описанного выше процесса легко обосновать. Достаточно придумать какую-либо характеристику многогранника, выражающуюся натуральным числом. и такую, что у каждого из двух многогранников, возникающих после одного шага эта характеристика меньше, чем у исходного.
Однако для каждого из кандидатов на роль такой характеристики мне легко удавалось найти пример многогранника и разрезания, после которого эта характеристика возрастает или не меняется.

Может быть, многогранники делятся на "тетраэдризируемые" за конечное число шагов и те, для которых вышеописанный процесс не всегда (или даже всегда не) сходится?


Награды

За решение и обобщение задачи ММ215 участникам начислены следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 7;
Владислав Франк и Олег Полубасов - по 5;
Владимир Чубанов, Виктор Филимоненков и Дмитрий Пашуткин - по 4 балла;
Дмитрий Курашкин - 3;
Василий Дзюбенко - 1.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла

Замечание

Я пока не успел разобраться со всеми выкладками Анатолия Казмерчука при обобщении задачи. Но его формулы для минимального числа тетраэдров, на которые можно разрезать n-угольную призму, совпали с теми, которые получились у меня и теми, что получил Олег Полубасов.
Поэтому, дабы не томить конкурсантов, я решил опубликовать разбор задачи до окончательного изучения решения Анатолия. Если же в процессе такого изучение всплвет что-то новенькое, я это прокомментирую.


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Дмитрия Пашуткина
Pashutkin_MM215.pdf [45.79 Кб]
Скачиваний: 43
Комментарий к файлу: Решение Анатолия Казмерчука
Kazmerchuk_pr_215.docx [136.05 Кб]
Скачиваний: 58
Комментарий к файлу: Решение Виктора Филимоненкова
fiviol_ММ215.docx [14.39 Кб]
Скачиваний: 33
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение09.10.2016, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3473
VAL в сообщении #1158373 писал(а):
Однако для каждого из кандидатов на роль такой характеристики мне легко удавалось найти пример многогранника и разрезания, после которого эта характеристика возрастает или не меняется.
Для комбинаций характеристик тоже?
Среди этих кандидатов было "количество различных способов разрезания на данном шаге"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение09.10.2016, 22:06 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
grizzly в сообщении #1158477 писал(а):
VAL в сообщении #1158373 писал(а):
Однако для каждого из кандидатов на роль такой характеристики мне легко удавалось найти пример многогранника и разрезания, после которого эта характеристика возрастает или не меняется.
Для комбинаций характеристик тоже?
Рассматривал и комбинации.
Цитата:
Среди этих кандидатов было "количество различных способов разрезания на данном шаге"?
А вот это не было. Надо попробовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение11.10.2016, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3473
VAL
Мне прислали на почту пример бесконечного разрезания. В границах моего пространственного воображения похоже на правду. Просьба проверить независимо:
Цитата:
если взять шестигранную призму $ABCDEFA'B'C'D'E'F'$ и первый разрез провести через $A'CE$, получив новые вершины $B''$ и $F''$ (отбросить часть с $B$ и $F$), а потом разрезать через $B''F''D$ и отбросить часть с $C$ и $E$, то получим тело, которое так же можно резать и дальше (попеременно через $A'C^*E^*$ и $B^*F^*D$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение11.10.2016, 20:10 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
Только я собрался написать, что предложенная Вами характеристика тоже может не уменьшаться...
Было бы странно, если бы она всегда уменьшалась :-)
grizzly в сообщении #1158991 писал(а):
VAL
Мне прислали на почту пример бесконечного разрезания. В границах моего пространственного воображения похоже на правду. Просьба проверить независимо:
Цитата:
если взять шестигранную призму $ABCDEFA'B'C'D'E'F'$ и первый разрез провести через $A'CE$, получив новые вершины $B''$ и $F''$ (отбросить часть с $B$ и $F$), а потом разрезать через $B''F''D$ и отбросить часть с $C$ и $E$, то получим тело, которое так же можно резать и дальше (попеременно через $A'C^*E^*$ и $B^*F^*D$).

Да, вроде, все проходит!
Я почему-то боялся думать над подобным примером. Мне казалось, что такой многогранник (если он есть) должен быть каким-то монстром... А здесь все вполне обозримо. Более того, практически в рамках ММ215.

PS: А почему пример прислали Вам, а не сюда? Или Вы в другом месте спрашивали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение11.10.2016, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3473

(VAL)

VAL в сообщении #1159020 писал(а):
А почему пример прислали Вам, а не сюда? Или Вы в другом месте спрашивали?
Это из личных контактов. Я бы в общественных местах не стал спрашивать без разрешения. (Видел я недавно у maxal, какие из-за этого бывают неприятности. Через меня подобных рисков не будет.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение13.10.2016, 09:07 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
VAL в сообщении #1158373 писал(а):
Для куба (четырехугольной призмы) имеем уже два возможных ответа: 5 и 6.
Это я погорячился :oops:
Похоже, уже для куба (четырехугольной призмы) возможен бесконечный процесс.
Так что "тетраэдризируемые" (в смысле, изложенном в обсуждении ММ215) многогранники весьма редки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение13.10.2016, 21:39 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
VAL в сообщении #1159367 писал(а):
Похоже, уже для куба (четырехугольной призмы) возможен бесконечный процесс.
Посмотрел аккуратнее. Не "похоже", а точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение29.10.2016, 23:59 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
Срок приема решений ММ216 продлен на сутки, до 24:00 30.10.2016

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение31.10.2016, 11:11 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
===========ММ216===============

ММ216 (10 баллов)

Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n.
1. Доказать, что все праймориалы красивы.
2. Верно ли, что все факториалы красивы?
3. Сколько существует красивых чисел вида $k^7$, где $k$ - некоторое натуральное число?
4. Сколько существует красивых чисел вида $7^k$, где $k$ - некоторое натуральное число?

Решение

привожу решения Владислава Франка и Олега Полубасова.

Обсуждение

Ход 22-го марафонского турнира все более напоминает картину предыдущего: достаточно дружный старт, а к середине начинается выпадение участников.
Остается надеяться, что на этот раз к заключительным задачам притормозившие марафонцы вернутся на дистанцию. Основание для таких надежд есть - ведь все последующие задачи опять про приглянувшиеся большинству марафонцев многогранники.

Так или иначе, на ММ216 получено всего 4 решения. А обоснованный ответ на все пункты задачи имеется и вовсе в двух из них.
Соглашусь, что аккуратные обоснования немного (а если пойти длинным путем то и весьма) муторны.
В то же время, для меня было удивительно, что даже бывалые, искушенные участники (не все, но и не один) не заметили, что в качестве 7-х степеней годятся 14-е, 21-е etc., тем самым, резко усложнив для себя 3-й пункт задачи.

Отмечу, что факториалы степеней двойки (и последующих чисел вплоть до первого простого) не являются красивыми, начиная $8!$, даже если предшествующее степени двойки число является простым числом Мерсенна (как собственно и происходит для 8). Вообще, среди факториалов довольно много некрасивых (в первой тысяче, например, 345) и это совсем не обязательно числа из диапазона $[2^k..p_m-1]$, где $p_{m-1}<2^k<p_m$.

Красивых чисел не было в OEIS. Я восполнил этот пробел - A262981. (а Антон Никонов дополнил, то что я восполнил.)
Назовем наименьшее натуральное число, имеющее ровно $n$ делителей, родительским для $n$ (буду благодарен тому, кто предложит более удачное название). Такие числа приведены в A005179.
Антон Никонов высказал два предположения:
1. Стартуя с произвольного натурального числа и переходя к родительскому, мы рано или поздно доберемся до красивого числа.
Например, $7 \to 64 \to 7560$, и мы пришли к красивому числу.
2. Родительское число красивого числа само красиво.

Исходя из этих предположений Антон ввел примитивные красивые числа: $1,2,6,8,9,18,20,30,45,\dots$

Формулируя ММ216, я надеялся, что получу не предположения 1 и 2, а доказанные утверждения 1 и 2. Увы... :-(
Несмотря на отсутствие доказательства, 1-я гипотеза не вызывает у меня ни малейших сомнений, а вторая кажется весьма правдоподобной.

Еще одно предположение: произведение взаимно простых красивых чисел красиво.

Награды

За решение и обобщение задачи мм216 участникам начислены следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 13:
Владислав Франк - 11;
Антон Никонов - 9;
Анатолий Казмерчук - 6;

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла


Вложения:
Комментарий к файлу: Решение Олега Полубасова
MM216_Polubasoff.pdf [438.1 Кб]
Скачиваний: 20
Комментарий к файлу: Решение Владислава Франка
Frank-mm216.pdf [146.87 Кб]
Скачиваний: 27
 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение31.10.2016, 11:55 
Аватара пользователя


29/04/13
2687
VAL в сообщении #1164651 писал(а):
Олег Полубасов - 13:
Олег Полубасов - 11;

Ну что ж, заслужил :-) Так бы и писали сразу: 24 :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Обсуждение и разбор марафонских задач
Сообщение31.10.2016, 13:06 
Заслуженный участник


27/06/08
3047
Волгоград
Yadryara в сообщении #1164664 писал(а):
VAL в сообщении #1164651 писал(а):
Олег Полубасов - 13:
Олег Полубасов - 11;

Ну что ж, заслужил :-) Так бы и писали сразу: 24 :-)

Боюсь, Влад Франк не согласится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 546 ]  На страницу Пред.  1 ... 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group