2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 И еще один элементарный подход к ВТФ при n=3.
Сообщение17.08.2008, 09:40 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Посвящается всем участникам форума и ферматистам :D !
Я тоже ничем не хуже других и поэтому тоже решил внести "вклад" в "доказательство" ВТФ.

Пусть существуют натуральные $x,y,z: x^3+y^3=z^3$. Тогда существуют положительные рациональные
$u,v: u^3+v^3=1$. $u^3+v^3=1 \leftrightarrow (u+v)((u+v)^2-3uv)=1, u+v=s, uv=t, s(s^2-3t)=1$.
Это уравнение разрешимо в рациональных числах.
$t= \frac{1}{3} (s^2-1/s), s$ - положительное рациональное число.
$t>0 \leftrightarrow s^2-1/s>0 \leftrightarrow s^2-1/s>0 \leftrightarrow s>1$
Остается проверить разрешимость уравнения $r^2-sr+t=0$ (т. Виета для $u,v$) в рациональных
$s,t$. Оно разрешимо в рациональных $\leftrightarrow D=s^2-4t$ - квадрат.
То есть существуют рациональные $a,s,t: s^2- \frac{4}{3} (s^2-1/s)=a^2$.
$a,s,t: s^2- \frac{4}{3}(s^2-1/s)=a^2 \leftrightarrow \frac{4-s^3}{3s}=a^2$.
$s= \frac{m}{n} >1 \leftrightarrow m>n, gcd(m,n)=1$. Кроме того $4-s^3>0 \leftrightarrow m< \sqrt[3]{4}n$.
То есть $ \sqrt[3]{4} n>m>n$ Подставим:
$\frac{4-s^3}{3s}=a^2 \leftrightarrow \frac{4n^3-m^3}{3mn^2}=a^2 \leftrightarrow 3m(4n^3-m^3)=(3mna)^2$
Слева - натуральное, значит справа - натуральное. К числу справа применимо понятие "делимость".
Число слева делится на m, но оно - квадрат, значит делится на $m^2$. Это возможно при
$m | 3(4n^3-m^3) \leftrightarrow m |12n^3, gcd(m,n)=1 \rightarrow m |12 \rightarrow m=1,2,3,4,6,12$
А $m>n$. Тупым перебором убеждаемся, что решений нет.
Значит нет решения и уравнения $x^3+y^3=z^3$.

Если тут все правильно (в чем я очень сомневаюся :D), то имеет место прогресс - я не использовал
комплексных чисел. Хотя можно ли это обобщить - другой вопрос.
Наконец, к в настоящем математическом доказательстве, здесь вообще нет смысла.

З.Ы. Товарищи! Доказательство ВТФ - это дело серьезное, требующее творческого подхода!
Предлагаю каждому в качестве знака уважения и почета к этому форуму "доказать" ВТФ!
Ура! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: И еще один элементарный подход к ВТФ при n=3.
Сообщение17.08.2008, 14:03 


29/09/06
4552
Sonic86 писал(а):
(1) $\ldots$ Остается проверить разрешимость уравнения $z^2-sz+t=0$ (т. Виета для $u,v$)

(2) $\ldots$ $s=frac{m}{n}$

(3) $\ldots$ $3m(4n^3-m^3)=(3mna)^2$

(4) Это возможно при $\ldots$ $m |12 \rightlongarrow m=1,2,3,4,6$

(5) $\ldots$ Наконец, к в настоящем математическом доказательстве, здесь вообще нет смысла.

(1) Откуда оно взялось, это уравнение? Или буковку $z$ новым смыслом наделили? Дополнительно --- теорема Виета формулируется для некого уравнения, а не для неких переменных $(u,v)$;

(2) заодно и это

(3) Нельзя ли сократить на $3m$, упрощая дальнейшие выводы?

(4) Понял: следует читать $m |12 \longrightarrow m=1,2,3,4,6$. Сравните с Вашей абракадаброчкой... Вы до сих пор не посмотрели внимательно свой текст?

(5) Непонятно, может, из-за орфографии. Лень угадывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: И еще один элементарный подход к ВТФ при n=3.
Сообщение17.08.2008, 14:30 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Sonic86 писал(а):
Число слева делится на m, но оно - квадрат, значит делится на $m^2$.

Поясните, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 15:15 


29/09/06
4552
Автор излишне витиеват (не путать с виетом): то, что число слева делится на $m^2$ практически явно записно в формуле $\underbrace{3m(4n^3-m^3)}_{\mbox{\small .
А что, через пункт (1) моих непоняток Вам удалось проскочить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 17:14 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
С пунктом 1 все нормально. $z$ в уравнении - это не тот $z$, что в теореме Ферма.
А вот с $m^2$ все не так просто. Напоминаю, что $a$ - не целое.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Ошибка именно там, где указал MaximKat
Sonic86
Замените $a=\frac{k}{l}$ и докажите невозможность решения в натуральных числах уравнения $(4n^3-m^3)l^2=3mn^2k^2$, тогда это будет доказательство.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 17:47 


29/09/06
4552
MaximKat в сообщении #139122 писал(а):
Напоминаю, что a - не целое.

Понял, спасибо. Остаётся надеяться, что автор хорошо отдохнул. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 19:10 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Я исправил.
MaximKat прав. Где было $z^2-sz+t=0$ $z$ не тот, что в $x^3+y^3=z^3$. Щас тоже исправлю: $z$ заменю на $r$.
Juna, насчет целостности: $a$ - не целое, но выражение слева - целое, ибо целым является выражение справа, так что там правильно. Так что $a=k/l$ я делать не буду.

Кстати, для $n=5$ так тоже можно доказать. Проблема кажется в том, чтобы слева выделить квадрат, а справа - целое число, которое формально делится на параметр, но не на квадрат его.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 19:24 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Sonic86
Вопрос в моем первом посте остается в силе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Вот здесь http://dxdy.ru/topic11254.html аналогичный (типовой) прокол.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 19:39 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Я еще раз повторюсь: мы вывели:
$3m(4n^3-m^3)=(3mna)^2$
$a$ - не целое, но из начального предположения следует, что это равенство верно (существует такая тройка, что ...). $m,n$ - целые. Значит слева - целое число, значит справа - тоже целое (если не целое - то решения нет, ч.т.д.). Тогда и справа - тоже целое. Значит оно - квадрат натурального числа. Кроме того, раз оно целое, то оно делится на $m$.
Ааааааа, вы имеете ввиду, что если $m$ - составное, то оно может делить квадрат, в то время как $m^2$ - не делит. Типа 8 делит $4^2$, но $8^2$ не делит $4^2$. А жаль.... все доказательство испортили :(
Ну я подумаю

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 19:46 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
Совершенно верно

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2008, 20:07 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Будем считать, что я пошутил :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group