сходимость ряда

[Руст]

Докажите, что для любой функции $f:R\to R$, не являющейся линейной в некоторой окрестности 0, существует сходящейся ряд $\sum_i a_i$, что ряд $\sum_i f(a_i)$ расходится.

[ewert]

Руст писал(а):

Докажите, что для любой функции $f:R\to R$, не являющейся линейной в некоторой окрестности 0, существует сходящейся ряд $\sum_i a_i$, что ряд $\sum_i f(a_i)$ расходится.

Формулировка не годится -- функция может оказаться тождественно нулевой в окрестности нуля.

[Руст]

ewert писал(а):

Формулировка не годится -- функция может оказаться тождественно нулевой в окрестности нуля.

Тождественно нулевая функция - линейная (вообще все линейные функции $R\to R$ это функции удовлетворяющие условию $f(x+y)=f(x)+f(y),f(ax)=af(x)$, т.е. $f(x)=cx$ и с может равняться нулю).

[ewert]

Да, я не очень внимательно прочитал, и всё равно: "в некоторой" -- не годится. Как это понимать: как "(не являющейся линейной) в некоторой окрестности 0" или как "не являющейся (линейной в некоторой окрестности 0)"?

[Руст]

Это называется ростком линейной функции в 0.
Хорошо, я переформулирую по другому:
Докажите, что если функция $f:R\to R$ обладает свойством:
для любого сходящего ряда $\sum_i a_i$ ряд $\sum_i f(a_i)$ так же сходится,
то существует $\delta >0, c\in R$, что $f(x)\equiv cx \ \forall x\in (-\delta,\delta).$

[ewert]

Да, так лучше.

[juna]

Вот здесь обсуждалось подобное.

[Юстас]

Предположим, что $f$ не линейна. Рассмотрим непрерывную в некоторой окрестности нуля функцию $g(x,y):=f(x+y)+f(-x)+f(-y)$. Возьмем последовательности $a_n\to0, \ b_n\to 0$ так что $|\sum g(a_n, b_n)|=\infty$(этого всегда можно достигнуть повторением членов необходимое число раз). Рассмотрим

$$x_n: \ x_{3k}=a_{3k}+b_{3k}, x_{3k+1}=-a_{3k}, \ x_{3k+2}=-b_{3k}$$

Тогда $\sum x_n=0$, а $|\sum f(x_n)|=|\sum g(a_n,b_n)|=\infty$.

[ddn]

Руст писал(а):

Докажите, что для любой функции $f:R\to R$, не являющейся линейной в некоторой окрестности 0, существует сходящейся ряд $\sum_i a_i$, что ряд $\sum_i f(a_i)$ расходится.

Невозможно в случае функции общего вида, если брать только абсолютно сходящиеся ряды $\sum_i a_i$.
Для контрпримера достаточно взять нелинейную функцию со свойством $|f(a_i)|<|a_i|$ в некоторой окрестности $0$ аргумента, к примеру $f(a)=a^2$.
Ряд $\sum_i a_i$ в общем случае знакопеременный и условно сходящийся.

Юстас писал(а):

этого всегда можно достигнуть повторением членов необходимое число раз

$|\sum g(a_n, b_n)|=+\infty$ - это существующий предел, пусть и бесконечный, значит здесь нужно выбирать разные члены $g(a_n, b_n)$ одного знака, а не любого - а если и разного знака, то нужно смотреть, чтобы амплитуда сумм все время росла (тогда $\sum g(a_n, b_n)=\pm\infty$). Для просто расходимости же достаточно такого повторения одного и того же члена, чтобы сумма одинаковых членов по абсолютной величине все время превышала некоторую констату.

[berlm]

а я когда то решил эту задачу, хотя мне не сказали, что
ответом являются все линейные.
А задача прикольная