2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда
Сообщение17.02.2006, 13:06 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Пусть ряд $\sum_{1}^{\infty} b_n   ,  b_n>0 $ сходится, а ряд $\sum_{1}^{\infty} nb_n  $ расходится. Далее, пусть a_n - различные натуральные числа. Требуется показать, что ряд $\sum_{1}^{\infty} a_nb_n  $ также расходится. У меня получилось доказательство для случая, когда b_n монотонно убывают, но возникают трудности если этого предположения не делать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2006, 13:47 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Достаточно положительности. Соберите члены от номера 2^k до 2^(k+1) вместе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2006, 16:52 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Често говоря непонятно что это дает. Я пытаюсь оценить снизу ряд
$ \sum a_nb_n $ рядом $\sum nb_n $.
Возможно, Вы имеете в виду другой подход?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.02.2006, 18:39 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
первая больше половины второго в каждом участке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.02.2006, 11:51 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Руст писал(а):
первая больше половины второго в каждом участке.

Для не убывающей последовательности b_n это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда
Сообщение18.02.2006, 21:37 


18/02/06
37
мех-мат МГУ
Юстас писал(а):
Пусть ряд $\sum_{1}^{\infty} b_n   ,  b_n>0 $ сходится, а ряд $\sum_{1}^{\infty} nb_n  $ расходится. Далее, пусть a_n - различные натуральные числа. Требуется показать, что ряд $\sum_{1}^{\infty} a_nb_n  $ также расходится. У меня получилось доказательство для случая, когда b_n монотонно убывают, но возникают трудности если этого предположения не делать.


У меня такое ощущение, что утверждение просто неверно. Попробую привести пример. Разобьем натуральные числа на два множества: A - степени двойки (от нулевой и до бесконечности) и множество В - остальные натуральные числа. Определим b_n = \frac{1}{n!}, \, n \in B, \quad b_n = \frac{1}{n}, \, n \in A.

Тогда ряд \sum b_n = \sum\limits_{n \in A} b_n + \sum\limits_{n \in B} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{2^k} + \sum\limits_{n \in B} \frac{1}{n!} < 2 + e, т.е. сходится.

Ряд \sum nb_n расходится, так как содержит бесконечно много единиц на позициях, являющихся степенями двойки.

Теперь определим последовательность a_n = 2 + 2log_2 n, \, n \in A, \quad a_n = 2n+1, \, n \in B. Опеределенные таким образом числа будут натуральными и различными. Действительно, если n \in A, то a_n четно и строго возрастает с ростом n. Если же n \in B, то a_n нечетно и также строго возрастает с ростом n. Теперь осталось лишь показать сходимость ряда
\sum a_nb_n = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{2k+2}{2^k} + \sum\limits_{n \in B} \frac{2n+1}{n!} < \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{k}{2^{k-1}} + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k-1}} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1}{n!} - а эта сумма трех сходящихся рядов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.02.2006, 01:07 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Красивый контрпример!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.02.2006, 01:18 


05/02/06
9
Минск
Да тут очевидно, что если b(n) - монотонная последовательность, то конечный ряд сходится, просто мажорируем последовательность a(n).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.02.2006, 01:26 


19/01/06
179
мне тоже контрпример кажется верным. И он не противоречит тому, что, как говорит Юстас, у него есть свое доказательство в случае убывающих b(n) - в построенном контрпримере последовательность b(n) не монотонна.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.02.2006, 07:53 
Заслуженный участник


01/12/05
458
Да, утверждение оказалось верным только для монотонной b_n. Спасибо Сергею за красивый пример.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group