Чтож с такой задачей столько возиться? Проще на компьютере посчитать. Mathematica дает

. Правда, тут надо с константой разбираться. Смотря как пр.Фурье определять. Если без константы перед интегралом, то числитель, вероятно, будет единицей. И нетрудно понять, откуда это получается. Исходная функция равна

. Синус - это сумма двух экспонент, а пр. Фурье от них - дельта-функция. Итого

. Может, опять с точностью до множителя. А преобразование от

также известно:

. Это, с точностью до константы, символ пребразования Гильберта. Произвежению оригиналов соответствует свертка образов. Откуда и получается

.