2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 треугольник, решение через тригонометрию
Сообщение16.02.2006, 21:15 


06/01/06
9
задача
В треугольнике АВС угол В равен 50 градусов, на сторонах
АВ и АС выбраны точки L и D соответственно так, что
угол BDC равен углу LDA и равен 70 градусов. На отрезке
LD выбрана точка К так, что угол АКС равен 130 градусов.
Найти угол КСВ.

 Профиль  
                  
 
 Ответ: 60 градусов
Сообщение19.02.2006, 22:09 


18/02/06
37
мех-мат МГУ
Пусть \angle A = \alpha, \, \angle KAD = x. Применим теорему синусов много раз. Везде ниже речь идет о градусах, а не радианах.

Из треугольника AKD имеем AD/sin(70+x) = AK/sin(70)
Из треугольника AKC имеем AK/sin(50-x) = AC/sin(130)
Из треугольника ABD имеем AD / sin(70 - \alpha) = AB / sin(110)
Из треугольника ABC имеем AB / sin(50 + \alpha) = AC / sin(50)
Из второго равенства выражаем AK, подставляем в первое равенство, и из него выражаем AD: AD = AC * sin(50-x)/sin(50) * sin(70 + x)/sin(70)
Из четвертого равенства выражаем AB, подставляем в третье равенство, и из него выражаем AD: AD = AC * sin(50 + \alpha) / sin(50) * sin(70 - \alpha)/ sin(70).
Левые части последних двух равенств одинаковы, значит, одинаковы и правые части. Приравнивая их и деля на AC и умножая на sin(50)sin(70), получаем
sin(50-x)sin(70+x) = sin(50 + \alpha) sin(70 - \alpha) =>
cos(20 + 2x) - cos(120) = cos(20 - 2\alpha) - cos(120) =>
cos(20 + 2x) - cos(20 - 2\alpha) = 0 => sin(x + \alpha)sin(20 + x - \alpha) = 0. Учитывая, что 0 < \alpha < 70, \, 0 < x < \alpha, заключаем, что 0 < x + \alpha < 180, \, -50 < 20 + x - \alpha < 90. Поэтому последнее равенство возможно только если x = \alpha - 20.

Теперь находим \angle KCB = 180 - \angle CKT - \angle KTC = 180 - 50 - (180 - \angle KAD - \angle ACB) = 130 - (180 - x - (180 - \angle A - \angle B)) = 130 - (180 - x - 180 + \alpha + 50) = 130 - ( -x + \alpha + 50) = 130 + x - \alpha - 50 = 80 + (\alpha - 20) - \alpha = 60.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.02.2006, 14:13 


20/02/06
4
Зачем же так сложно.
Возьмем на луче BD за точку D точку K' так, что DK=DK'. Тогда треугольник AKC равен треугльнику AK'C, отсюда четырехугольник ABCK' вписанный и угол KCA равен углу AK'C.
Угол BCK - разность ACB и KCA. Половина дуги ABC равна 130 градусам, равна сумме углов ACB и BK'C.
BCK = BCA - KCB = BCA - K'CB = BCA - (180 - BK'C - 110) = BCA + BK'C - 70 = 60.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.02.2006, 14:22 


20/02/06
4
Вообще - не самая интересная геометрия, к тому же с почти очевидной идеей.

 Профиль  
                  
 
 так ли уж сложно?
Сообщение20.02.2006, 18:51 


18/02/06
37
мех-мат МГУ
Я согласен, что решение через дополнительное построение короче. Но вот насчет того, что оно проще, это спорно. Почему это вдруг применять теорему синусов сложнее, чем придумывать дополнительное построение? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.02.2006, 12:35 


20/02/06
4
Хорошо, скажу по другому. Решение через теорему синусов не вскрывает истинную природу данной задачи. К тому же оно более громоздко и менее изящно.
Применение тригонометрии (так сказать вычислительной тригонометрии) к задаче допускающей решение без нее - вопрос вкуса. По-моему вся невеликая красота этой задачи тригонометрией была убита.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 01:30 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Применять тригонометрию или не применять - это вопрос владения техникой. Если человеку надо маленьким топориком срубить большое дерево, то он будет долго ходить вокруг и смотреть, куда надо ударить, чтобы оно само упало. Если же у него есть бензопила, то он просто возьмет и спилит его.
Возникает, вопрос, надо ли нам постигать истинную сущность дерева и его внутреннюю структуру, если у нас есть бензопила?

Если человек хорошо владеет тригонометрией, то применение ее при решении задачи более оправдано экономически, так как это быстрый, простой и надежный способ получить ответ.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Бензопила - это конечно хорошо, но всё же бывает, что топорик лучше. Вот возьмём, к примеру, квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$, где a,b,c - некоторые функции параметра t, и спросим - при каких значениях параметра t данное уравнение имеет два корня, один больше 1, другой меньше 1?
Бензопилой свалить можно, но нужно потрудиться с исследованием дискриминанта и решением двух неравенств с радикалами.
А если топориком? Тут всё тривиально: делим уравнение на а и пишем, что полученная левая часть отрицательна при t=1.

Другой пример (из вступительных в НГУ 1992г.) воспроизвожу по памяти в вольной форме, так как нет под рукой первоисточника (в нём вся эта картина запрятана в шар вписанный в призму или пирамиду и касающийся некоторой прямой):
Имеется канал с треугольным сечением, с одного берега канала на другой переброшена палка (концы палки указываются). Требуется найти шар минимального радиуса, который касается стенок канала и палки.

Пробовали некоторые абитуриенты бензопилой (координатным методом) - не получилось.

Собственно говоря, бензопилой надо уметь пользоваться - это верно. Однако надо уметь и создавать эти бензопилы. Уж даже не говоря об эстетике, мне больше нравятся создатели топориков, пусть даже маленьких, чем виртуозы бензопилы.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Dan_Te писал(а):
Применять тригонометрию или не применять - это вопрос владения техникой.

Добавлю, что техника обладает еще одним важным свойство -- областью применения. В частности, применение тригонометрии куда проще запрограммировать, чем дополнительное построение. Тригонометрия - это, быть может более трудоемкое, но менее занимающее мозги решение. Неизящно, но работает всегда. В отличии от дополнительного построения, которое работает только в частном случае.

Приведу тоже пример -- доказать, что из равенства двух биссектрис следует равнобедрность треугольника. Я видел один раз дополнительной построение, хотел бы увидеть второй. А вот тригонометрически -- готов хоть завтра разместить.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.02.2006, 08:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Ну вот, по-моему, добавить уже нечего, разве что анекдот старинный рассказать:
Двое спорщиков, чтобы разрешить свой спор, пришли к мудрецу. Выслушав первого, мудрец сказал: - Ты прав. Потом выслушал второго и сказал: - И ты прав. Присутствовавший при разговоре третий изумился: - Как же так, не могут они быть оба правы.
- Ты прав, ответил мудрец.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group