2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.
 
 
Сообщение18.06.2008, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Hamson писал(а):
Возник тут вопрос, а чему равно:
00 + 1 =, где 00 - это бесконечность


Поскольку Вы явно не являетесь специалистом в области математики (не в обиду Вам будь сказано; я, например, не являюсь специалистом в области физики), то с символом $\infty$ Вы встречались, скорее всего, в теории пределов при изучении начал математического анализа. Если быть совсем аккуратным, то имеются три символа бесконечности: $\infty$, $+\infty$ и $-\infty$. Первый из них называется проективной бесконечностью, а второй и третий - аффинными бесконечностями. Очень часто вместо $+\infty$ пишут $\infty$, поскольку все привыкли не писать знак "плюс" при записи положительного числа (пишут $5$, а не $+5$), однако это может иногда привести к недоразумениям.
Аффинные бесконечности можно представлять себе как дополнительные точки, присоединённые к концам числовой прямой $\mathbb R$, так что для любого действительного числа $x\in\mathbb R$ выполняются неравенства $-\infty<x<+\infty$. Проективная бесконечность получается "склеиванием" аффинных бесконечностей в одну точку, при этом числовая прямая превращается в окружность. Для проективной бесконечности нельзя писать неравенства типа $x<\infty$ или $x>\infty$, поскольку к $\infty$ можно прийти от $x\in\mathbb R$ как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения.

Эти бесконечности не являются числами, и арифметические операции на них, вообще говоря, не распространяются. Однако частично их определить всё-таки можно, и это делается с помощью пределов. Например, $(+\infty)+(+\infty)=+\infty$, так как если $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$ и $\lim\limits_{x\to a}g(x)=+\infty$, то $\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=+\infty$; более того, вообще утверждение "$(+\infty)+(+\infty)=+\infty$" нужно понимать как символическую запись указанного свойства предела, и никак иначе. Аналогичный смысл имеет запись $(-\infty)+(-\infty)=-\infty$.
А вот сумму $(+\infty)+(-\infty)$ определить нельзя: если $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$, а $\lim\limits_{x\to a}g(x)=-\infty$, то $\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))$ может быть равен чему угодно или вообще не существовать. Аналогично нельзя определить сумму или разность двух проективных бесконечностей $\infty\pm\infty$. Не определены также и многие другие комбинации бесконечностей.
Если мы хотим выяснить, чему равна сумма $\infty+1$, то мы должны рассмотреть две такие функции $f(x)$ и $g(x)$, что $\lim\limits_{x\to a}f(x)=\infty$, а $\lim\limits_{x\to a}g(x)=1$. Тогда получим $\lim\limits_{x\to a}(f(x)+g(x))=\infty$, поэтому $\infty+1=\infty$. Аналогично $(+\infty)+1=+\infty$ и $(-\infty)+1=-\infty$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 17:40 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Ключевой в предыдущем пояснении является фраза

Someone писал(а):
Эти бесконечности не являются числами, и арифметические операции на них, вообще говоря, не распространяются.


Т.е. если понимать бесконечности именно так, как написал Someone, то всякого рода выражения с ними являются всего лишь сокращенными записями некоторых более длинных свойств, в которых фигурируют только обычные числа. Даже в упомянутой записи $\lim f(x)=+\infty$ на самом деле никакой "бесконечности" нет, это также сокращенная запись некоторого свойства, в котором в конечном итоге фигурируют также только обычные числа.

Можно вводить всякие разные другие множества, в которых некоторые элементы обозначать значком $\infty$, а также вводить на этих множествах разные операции, используя для их записи привычные значки $+$ и другие. Нам никто это не запрещает делать. Но к обычным числам и обычным операциям над ними, которым учат в начальной школе, это уже отношения иметь не будет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 17:44 
Аватара пользователя


05/06/08
470
Someone писал(а):

Проективная бесконечность получается "склеиванием" аффинных бесконечностей в одну точку, при этом числовая прямая превращается в окружность. Для проективной бесконечности нельзя писать неравенства типа $x<\infty$ или $x>\infty$, поскольку к $\infty$ можно прийти от $x\in\mathbb R$ как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения.

А скажите тогда, в чём польза проективной бесконечности?
В каких случаях без неё ну никак. Или, по крайней мере, упрощает обьяснение чего либо. Хоть один пример.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Ну, например, вместо двух утверждений $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$ и $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$ можно написать одно: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$.

Другой пример: $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x=\infty$, но $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x\neq+\infty$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x\neq-\infty$ (здесь $[x]$ - целая часть $x$, то есть, наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 18:04 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Я бы просто сказал, что числовая прямая с двумя бесконечными концами и с одним - это просто два разных математических объекта. Они топологически различны. Вот и все.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 18:14 
Аватара пользователя


05/06/08
470
Someone писал(а):
Ну, например, вместо двух утверждений $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$ и $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$ можно написать одно: $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e$.

Другой пример: $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x=\infty$, но $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x\neq+\infty$ и $\lim\limits_{x\to+\infty}(-1)^{[x]}x\neq-\infty$ (здесь $[x]$ - целая часть $x$, то есть, наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Второй пример понравился, спасибо. А вот в первом Вы просто ошиблись: 1/е при минус бесконечности.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Нет, не ошибся. Там ведь не только показатель степени отрицательный, но и основание степени меньше $1$ (при $x<-1$). Поэтому степень всё равно больше $1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 18:43 
Аватара пользователя


05/06/08
470
Someone писал(а):
Нет, не ошибся. Там ведь не только показатель степени отрицательный, но и основание степени меньше $1$ (при $x<-1$). Поэтому степень всё равно больше $1$.

А, ну да.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 22:07 


30/12/07
94
Цитата:
Я бы просто сказал, что числовая прямая с двумя бесконечными концами и с одним - это просто два разных математических объекта. Они топологически различны. Вот и все.



А мне кажется это одно и то же....

Что такое точка отсчета - 0 ? Если я принимаю Москву за 0 точку -то двигаясь в Питер мои координаты стали - 600 ед., а двигаясь в Киев +1200 ед. Но если точка отсчета находиться в Париже , то обе координаты положительны....Так и с бесконечность....
Это вроде понятия обсолютного времени - пусть во всех системах отсутствует движение, но всегда можно представить точку в пространстве, в которой можно сказать , все системы находились в покое n время.
Так в чем же "потологическое" различие? Можно конкретизировать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.06.2008, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
sergmirdin, скажите, отрезок и окружность - это одно и то же, или они чем-то отличаются?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 22:01 


30/12/07
94
Если радиус окружности бесконечен, то отрезок это лишь часть окружности.....
Кстати - две окружности, с одним центром, радиус одной меньше другой....-это вплоскости радиусы различны, а представте что одна (меньшая) находиться в удалении.....каждой точке "меньшей" окружности соответствует точка "большей".Плоскость -лишь проекция...Бесконечность -лишь неограниченность мысли....

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 22:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Это растекание мысли по древу, а не ответ на вопрос Someone. Вы понимаете или нет, чем топологически отличаются отрезок и окружность? Если нет (или если непонятен вопрос), то просто напишите об этом и Вам объяснят.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 22:14 


30/12/07
94
1, Отрезок и окружность в конечном их представлении "потологически" отличаются , спору нет.Но тут вроде речь зашла о бесконечности...
Тогда Вы объясните , чем "потологически" отличаются окружность с бесконечным радиусом и прямая?
Кстати -Вы сначало определитесь -что такое -"БЕСКОНЕЧНОСТЬ"...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 22:20 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Не надо, пожалуйста, коверкать слово "топологически", это математический термин. Вы не написали, чем именно с точки зрения топологии отличаются отрезок и окружность. А это и будет ответ на Ваш же вопрос, потому что с точки зрения топологии отрезок ничем не отличается от прямой с двумя бесконечно удаленными точками, а окружность - прямой с одной точкой (проективной бесконечностью).

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

sergmirdin писал(а):
Кстати -Вы сначало определитесь -что такое -"БЕСКОНЕЧНОСТЬ"...

Это одна из точек того пространства, которое тут обсуждается. У нее такое название.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.06.2008, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
sergmirdin писал(а):
Тогда Вы объясните , чем "потологически" отличаются окружность с бесконечным радиусом и прямая?


Что такое "окружность с бесконечным радиусом"?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 129 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group