2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Новогодняя задача
Сообщение30.12.2021, 17:13 


20/04/10
1776
Дед Мороз и Снегурочка играют в снежки. Изначально у них по $N$ снежков, у деда белые, у Снегурочки синие. Они кидают снежки поочереди. Какова вероятность, что после $N$ туров (тур это бросок одного, затем другого игрока) у каждого из игроков снежки будут монотонные. Снежки из игры не выбывают, таким образом после каждого тура количество снежков у каждого игрока равно $N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение30.12.2021, 17:55 


05/09/16
11461
lel0lel в сообщении #1544689 писал(а):
Они кидают снежки поочереди.

То есть: сначала кидает первый, после чего у второго $N+1$ снежок, затем второй выбирает уже из $N+1$, кидает и по окончании тура у них опять по $N$. Затем опять кидает первый. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение30.12.2021, 20:42 


20/04/10
1776
Да

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение30.12.2021, 21:53 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
$\dfrac {(N!)^2}{(N(N+1))^N}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение31.12.2021, 09:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
mihiv в сообщении #1544717 писал(а):
$\dfrac {(N!)^2}{(N(N+1))^N}$

При $N=1$ правильная вероятность равна единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение31.12.2021, 10:29 


06/09/12
890
TOTAL в сообщении #1544741 писал(а):
При $N=1$ правильная вероятность равна единице.
Почему? Один тур, один белый снежок, один синий. $P = 1\cdot\frac{1}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение31.12.2021, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
statistonline в сообщении #1544746 писал(а):
TOTAL в сообщении #1544741 писал(а):
При $N=1$ правильная вероятность равна единице.
Почему? Один тур, один белый снежок, один синий. $P = 1\cdot\frac{1}{2}$
После одного тура у каждого будет по одному снежку. Один снежок не может быть разноцветным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение31.12.2021, 10:42 


06/09/12
890
TOTAL в сообщении #1544747 писал(а):
После одного тура у каждого будет по одному снежку. Один снежок не может быть разноцветным.
Да. Получается, что это случай, когда снежки одноцветные, и у каждого снова своего цвета.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение31.12.2021, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
statistonline в сообщении #1544749 писал(а):
TOTAL в сообщении #1544747 писал(а):
После одного тура у каждого будет по одному снежку. Один снежок не может быть разноцветным.
Да. Получается, что это случай, когда снежки одноцветные, и у каждого снова своего цвета.
У каждого одного цвета, но не обязательно (первоначального) своего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение31.12.2021, 13:06 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Да, я не учел, что после $N$ туров цвет может остаться прежним.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение31.12.2021, 13:29 


20/04/10
1776
mihiv
Получается, что Вы искали вероятность того, что произойдет полный обмен цвета? Но формула при $N=2$ даёт вероятность $1/9$, что неверно, должно быть $1/4$ в Вашей постановке задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение01.01.2022, 19:00 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
lel0lel, мне кажется, можно считать так:
В первом туре С. должна выбрать и бросить синий из 1б. +2с. Вероятность этого $\frac 23$.
Перед вторым туром у Д.М. 1с.+1б. Он должен выбрать белый. Вероятность $\frac 12$.
Затем С. выбирает синий из 2б.+1с. Вероятность $\frac 13$.
Вероятность смены цвета: $\frac 23\cdot \frac 12\cdot \frac 13=\frac 19$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение01.01.2022, 19:15 


20/04/10
1776
mihiv
Да, всё верно, я обсчитался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение20.01.2022, 14:13 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Рассмотрим систему с $N+1$ состояниями. Состояние системы определяется однозначно, например, количеством белых снежков у Д.М.
0 белых снежков-1-е состояние, 1 белый-2-е состояние, $\dots , N $белых $N+1$-е состояние. Тогда переходы системы из одного состояния в другое образуют однородную цепь Маркова.
Этой цепи соответствует матрица $p_{i,j}(n)$, матричные элементы которой -это вероятности того, что система за $n$ шагов перейдет из состояния $i$ в состояние $j. P(n)=Q^n$,где $Q$- матрица переходных вероятностей системы, т.е. $q_{i,j}$ это вероятность перехода системы из состояния $i$ в состояние $j$ за один шаг. Таким образом задача сводится к построению матрицы $Q$ и нахождению затем $p_{1,1}(N)$ . Для каждого конкретного $N$ можно построить матрицу $Q$. Это трех диагональная матрица, потому что возможные изменения номера состояния за один шаг $0$ или $\pm 1$.Ограничимся случаем $N=2$. Матрица $Q$ имеет вид:$$\begin {pmatrix}\dfrac 13&\dfrac23&0\\\\\dfrac 16&\dfrac 23&\dfrac 16\\\\0&\dfrac 23&\dfrac 13\end {pmatrix}$$
Ее можно представить в виде $Q=AQ_1A^{-1}\eqno (1)$, где $$Q_1=\begin {pmatrix}0&0&0\\0&\frac 13&0\\0&0&1\end {pmatrix}, A=\begin {pmatrix}2&1&1\\-1&0&1\\2&-1&1\end {pmatrix},A^{-1}=\begin {pmatrix}\frac 16&-\frac 13&\frac 16\\\\\frac 12&0&-\frac 12\\\\\frac 16&\frac 23&\frac 16\end {pmatrix}$$С помощью разложения (1) получим:$$Q^k=\begin {pmatrix}\frac 16+\frac 1{2\cdot 3^k}&\frac 23&\frac 16-\frac 1{2\cdot 3^k}\\\\\frac 16&\frac 23&\frac 16\\\\\frac 16-\frac 1{2\cdot 3^k}&\frac 23&\frac 16+\frac 1{2\cdot 3^k}\end {pmatrix}$$Вероятность оказаться после $k$ туров в исходном (первом ) состоянии равна $p_{1,1}(k)=\frac 16+\frac 1{2\cdot 3^k}$. С ростом $k$ она стремится к $\frac 16$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новогодняя задача
Сообщение20.01.2022, 16:29 


20/04/10
1776
Это очень красивое решение. Стало хотя бы ясно как эту задачу решать по-человечески, а то я строил последовательность вероятностей для малых $N$. Думаю, что Дед Мороз, прочитав это, будет доволен и исполнит добрые пожелания форумчан)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group