2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 05:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Речь идет о задаче 12 из текста http://www.chronomaitre.org/KillerProblems.pdf: решить в вещественных числах систему уравнений $y(x+y)^2=9$ и $y(x^3-y^3)=7$. Мне кажется, что эта задача имеет почти устное решение. Предлагаю его найти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 07:43 


18/09/21
1676
$x=2, \, y=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 07:57 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
zykov
Это понятно :-) А доказательство того, что других решений нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 07:59 


18/09/21
1676
Не сказать, что устно.
Относительно переменной $k=\frac{x+y}{x-y}$ получился многочлен 9 степени с одним корнем $k=3$ и оставшийся многочлен 8 степени знакопостоянен - не имеет действительных корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 08:07 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
zykov в сообщении #1542024 писал(а):
получился многочлен 9 степени
Нет, это неинтересно. У автора решение в таком же духе.

Вообще, с точки зрения компьютерной алгебры здесь все очевидно. Речь идет о том, чтобы решить эту задачу в рамках школьной математики и при этом избежать громоздких вычислений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 09:13 


18/09/21
1676
Как найти устно - не знаю. Просто подобрать разве что.
По единственности:

Из первого очевидно $y>0$, тогда из второго очевидно $x>y$.
Из первого $x=-y+\frac{3}{\sqrt{y}}$, убывает в этой области, из неравенства будет $y<(\frac32)^{2/3}$.
Из второго $x^3=y^3+\frac{7}{y}$.

Если $f(y)=y^3+\frac{7}{y}-(-y+\frac{3}{\sqrt{y}})^3$, то $f'(y)={{y}^{2}}-\frac{27 \sqrt{y}}{2}-\frac{7}{{{y}^{2}}}+\frac{81}{2 {{y}^{\frac{5}{2}}}}$.
Можно показать что $f'(y)>0$ при $y>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 10:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
zykov в сообщении #1542027 писал(а):
Можно показать что $f'(y)>0$ при $y>0$.
Это долго и сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 10:22 


18/09/21
1676
Хм, ну вместо $y$ можно взять $t=\sqrt{y}$.
Тогда $f(t)=t^6+\frac{7}{t^2}-(-t^2+\frac{3}{t})^3$ и $f'(t)=12 t^5-27 t^2-\frac{14}{t^3}+\frac{81}{t^4}$ и школьными методами показать монотонность.
Легко показать, что $-27 t^6 - 14 t + 81 >0$ при $0<t<(\frac32)^{1/3}$.
Это выражение убывает. При $t=(\frac32)^{1/3}$ будет $\frac{81}{4}-14 \cdot (\frac32)^{1/3} > 20 - 14 \cdot \frac54=\frac52>0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 10:58 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Замена $$x=\frac{u}{u-v},\, y=\frac{v}{u-v}$$
приводит
$$(u-2v)(7u^2-8uv+4v^2)=0,\, (u-2v)(9u^2-10uv+5v^2)=0$$
Квадратные уравнения не имеют решений в действительных числах(хоть имели бы все равно корни разные) , потому $u=2v$ и окончательно $x=2,\, y=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 11:01 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
zykov в сообщении #1542032 писал(а):
Хм, ну вместо $y$ можно взять $t=\sqrt{y}$.
Ну, это-то само собой. Но все равно дальше как-то не особо эстетично. Впрочем, как вариант школьного решения пойдет.

Но есть вариант покороче.

-- Ср дек 08, 2021 15:07:44 --

TelmanStud в сообщении #1542036 писал(а):
Замена $$x=\frac{u}{u-v},\, y=\frac{v}{u-v}$$
Несколько искусственно. Как догадаться до такой замены? И потом, уравнения в новых неизвестных написаны в уже факторизованном виде, но до такого вида надо еще добраться.

Но в любом случае это, конечно, быстрее, чем у автора текста. Пусть будет как вариант номер 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 11:16 
Аватара пользователя


05/04/13
580
nnosipov в сообщении #1542037 писал(а):
Как догадаться до такой замены? И потом, уравнения в новых неизвестных написаны в уже факторизованном виде, но до такого вида надо еще добраться.

Левая часть однородна по переменным, так что попытаться стоило, хотя без уверенности, что разложение получится. Согласен, решение получено методом проб и ошибок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 11:45 


07/08/14
4231
$y(x+y)^2=9$ и $y(x^3-y^3)=7$
$y=\frac{9}{(x+y)^2}$
$y=\frac{7}{(x^3-y^3)}$
$\frac{9}{(x+y)^2}=\frac{7}{x^3-y^3}$
$x+y=3$
$x^3-y^3=7$

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 11:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
upgrade
И как Вы вывели, что, например, $x+y=3$?

-- Ср дек 08, 2021 15:51:23 --

TelmanStud в сообщении #1542039 писал(а):
Левая часть однородна по переменным
Кстати, а ничего, что там разные степени однородности? Как-то странно, что в переменных $u$ и $v$ оба уравнения оказались кубическими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 11:51 


07/08/14
4231
nnosipov
$\frac{9}{(x+y)^2}=\frac{7}{x^3-y^3}$
$\frac{x^3-y^3}{(x+y)^2}=\frac{7}{9}$
дроби равны когда равны их числители и знаменатели (там, конечно $+3, -3$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Killer Problem 12
Сообщение08.12.2021, 11:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
upgrade в сообщении #1542043 писал(а):
дроби равны когда равны их числители и знаменатели
Вот за такое моих студентов (и школьников) ожидали бы страшные кары дополнительные порции задач.

-- Ср дек 08, 2021 15:55:24 --

upgrade в сообщении #1542043 писал(а):
там, конечно $+3, -3$
Не поможет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group