2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Характеристическое свойство архимедовых групп
Сообщение12.02.2006, 23:07 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
1. Пусть действительная функция f(x) удовлетворяет условию: если ряд с общим членом x(n) cходится, то и ряд с общим членом f(x(n)) сходится. Докажите, что f(x) является ростком линейной функции в 0, т.е. существует a и c>0, что для любого х: |x|<c f(x)=ax.
2. Топологическая гпуппа A называется архимедовой, если существует некоторая окрестность единицы U, что для любого х, отличного от единицы, некоторая её степень (натуральная) не содержится в U.
Пусть С топологическая группа, удовлетворяющая 1-ой аксиоме счётности (единица имеет счётную базу окрестностей).
Топологическая группа А архимедова тогда и только тогда, когда для любой топологической группы с 1-ой аксиомой счётности все отображения f:C-->A переводящие фундаментальные произведения в фундаментальные являются ростками непрерывных гомоморфизмов групп.
Здесь сходящие ряды заменил на фундаментальные произведения по причине того, что не предполагается коммутативность (заменва ряда на произведение) и полнота (замена сходимости на фундаментальность).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.03.2006, 23:08 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
1. Пусть функция f(x) сходящиеся ряды переводит в сходящиеся ряды. Отсюда ясно, что она непрерывна в 0. Допустим, что она не равна линейной функции ни в какой окрестности 0. Тогда существуют последовательности $y_k,z_k,t_k=y_k+z_n,$ стремящиеся к нулю и $a_k=f(t_k)-f(y_k)-f(z_k)$ отлична от нуля. Тогда взяв ряд с общим членом $x_n=y_k, n=0(mod 3),x_n=z_k, n=1(mod 3), x_n=-t_k,n=2 (mod 3)$, получаем сходящийся ряд (сумма каждых 3 равен 0). Взяв многократный повтор троек, что будет осуществляться, если возьмём следующую зависимость между n и k:
$N_k<=[n/3]<N_{k+1}, N_0=0,N_{k+1}=N_k+[1+\frac {1}{|a_k|}]
добиваемся, что f(x(n)) расходится. Следовательна функция f(x) непрерывна в 0 и в некоторой окрестности нуля выполняется равенство f(x+y)=f(x)+f(y). Отсюда получается линейность в некоторой окрестности.
2. Обобщения доказываются аналогично.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2006, 03:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Можно еще раз про зависимость между n и k ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2006, 08:57 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Взяв ряд членами которой являются числа из троек c суммой 0 вида $y_k, z_k,t_k=-y_k-z_k$ для которых $a_k=f(y_k)+f(z_k)+f(t_k)\not=0$ , берём эту тройку m(k) раз, чтобы m(k)a(k) стало по модулю больше 1. В этом случае заведомо ряд x(n) сходится, а ряд f(x(n)) расходится. Отсюда заключаем, что в некоторой окрестности 0 из y+z+t=0 вытекает f(y)+f(z)+f(t)=0. Я тут несколько небрежно сократил доказательство. Вначале несколько проще (используя двойки с нулевой суммой) надо было показать, что f(x) нечётная в некоторой окрестности. Эти свойства с непрерывностью в 0 приводят к линейности в некоторой окрестности 0.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2006, 18:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Спасибо за ответ.
Для себя хочу уточнить
Если по предположению, что функция не является линейной, т.е. для точек y,z,t=y+z из какой-то окрестности нуля $f(y)+f(z)+f(-t)\not = 0$ ,
то при таком выборе$x_n$ ряд $\sum x_n$ будет сходится, но как и необходимо: $\sum \limits_{1}^{\infty} f(x_n)$ будет расходится (достаточно посмотреть последний ряд, начиная с некоторогo номера $N$, чтобы y,z были в данной окрестности).
я чего-то не пойму, зачем брать многократный повтор троек (m(k) раз) ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2006, 20:35 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Предполагая, что в любой окрестности нуля имеются точки y,z,t=y+z, для которых f(y)+f(z)+f(-t) не равно нулю строим сходящийся ряд, состоящий из многократных повторений таких членов (при этом ряд сходится, так как выбранные y,z,t стремятся к нулю), а ряд f(x(n)) расходится. Отсюда заключаем, что если функция переводит сходящиеся ряды в сходящиеся, то найдётся окрестность нуля, где из х+y=0 следует f(x)+f(y)=0. а из x+y+z=0, f(x)+f(y)+f(z)=0. Эти свойства с непрерывностью в 0 приводят, что функция линейная.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.03.2006, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Уяснил. Я при преположении противного квантор существования окрестности забыл "перевернуть" на для любой.
Если есть еще задачи (из анализа) такого сорта, пишите , если Вам не трудно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group