2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Целые точки эллиптической кривой
Сообщение27.07.2021, 13:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Найдите все пары $(x,y)$ целых чисел, удовлетворяющих уравнению $x^3+3xy-y^2-y=0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение27.07.2021, 14:19 
Аватара пользователя


23/12/18
430

(Оффтоп)

$x^3 = y(y+1-3x)$, тогда $x \,\vdots\, rad(y)$ ($rad$ — произведение всех простых делителей), а значит $(y + 1 - 3x, y) = (y + 1 - 3x, rad(y)) = 1$. Тогда, из первого равенства $y = u^3,\, y + 1 - 3x = v^3,\, x = uv$ и
$$v ^3 - u^3 = 1 - 3x = 1 - 3uv \eqno{(1)}$$
Теперь начинается разбор случаев:
$u=v$ [$\emptyset$], $u=0$ [$(u;v)=(0; 1)$], $v =0$ [$(u;v)=(-1;0)$] — тривиальные случаи.
$v > u > 0,\, 0 > v  > u$ — тоже, одна из частей равенства $(1)\,>0$, другая $<0$
$v = -u$ — тоже простой.
$v > 0 > u$, причём $(u;v) \neq (-1; 1)$ тогда $v^3 - u^3 = (v-u)(v^2 + u^2 + uv) \geq 3(v^2 + u^2 + uv) \geq 3(-2uv + 1+ uv)$, причём последнее — по нер-ву о средних при $v \neq -u$
$u > v$, тогда $v^3 - u^3 = (v-u)(u^2 + v^2 + uv) \leq -(u^2 + v^2 + uv) \leq -3uv$.

Из полученных решений $x = 0$, $y \in \{0, -1\}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение28.07.2021, 18:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo
У Вас там с уравнением (1) какие-то пляски с бубнами: все гораздо проще и эстетичнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение28.07.2021, 19:07 
Аватара пользователя


23/12/18
430

(nnosipov)

Я не знаю, как сделать проще, но эстетики могу добавить :lol:
Положим $v-u = a,\, uv = b$, тогда $a^3 + 3ab = 1-3b$ или $a^3-1 = -3b - 3ab = (a-1)(a^2+a+1) = -3b(a+1)$. Т.к. $\gcd(a+1, a-1) \,\vert\, 2$ и $\gcd(a+1, a^2+a+1) = 1$ возможно только $a+1\in \{1, 2, -1, -2\}$. Перебором получаем $a = 1, b = 0;\, a = -2, b = -3$, откуда находятся $u,v$
Но я подумаю ещё

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение28.07.2021, 19:18 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo
Здесь Вы используете кучу случайных обстоятельств. Малейшее "шевеление" уравнения, и все эти трюки перестают работать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение29.07.2021, 16:13 
Аватара пользователя


23/12/18
430

(nnosipov)

Вот чуть-чуть похожее на предыдущее, получено из тех же замен:
$(v-u+1)(v^2+uv+u^2+u-v+1) = 2$
Кстати, так же вроде должны решаться любые уравнения вида $a(u^3-v^3)+buv+c=0$, а может и все симметричные уравнения 3-й степени от 2-х переменных, но я не проверял

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение29.07.2021, 17:47 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo
Симметрия здесь тоже не главное. Я имел в виду метод решения, который годится для уравнений вида $u^3-a^3v^3+f(u,v)=0$, где $f(u,v)$ --- многочлен степени не выше второй. Видите его?

Да, и зачем Вы пишите в оффтопе? Все же по теме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение29.07.2021, 17:48 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov чтобы другие тоже могли порешать.

-- 29.07.2021, 17:59 --

nnosipov если Вы имеете в виду замену $u = av+z$ с отсеиванием слишком больших по модулю $z$, то в моём первом сообщении что-то похожее. А ещё можно дискриминант получившегося кв.ур. зажать между квадратами

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение29.07.2021, 20:17 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo в сообщении #1527575 писал(а):
если Вы имеете в виду замену $u = av+z$ с отсеиванием слишком больших по модулю $z$, то в моём первом сообщении что-то похожее.
Возможно, но надо было это высказать более четко. Это и есть общая идея.
xagiwo в сообщении #1527575 писал(а):
А ещё можно дискриминант получившегося кв.ур. зажать между квадратами
А он там почти всюду отрицательный :-) Это вариация предыдущей идеи.

В целом, Вы успешно решили задачу. Идея с привлечением радикала очень неплоха, хотя и известна. Есть еще один вариант решения, когда мы вводим $d=\gcd{(x,y)}$ и переходим к (взаимно простым) неизвестным $x_1=x/d$ и $y_1=y/d$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение29.07.2021, 20:26 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov в сообщении #1527592 писал(а):
Идея с привлечением радикала
Это какая из?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение29.07.2021, 20:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xagiwo в сообщении #1527597 писал(а):
Это какая из?
Имеется в виду то, что в силу уравнения $x$ делится на $\mathop{\rm rad}{(y)}$. В принципе, для доказательства того, что $\gcd{(y,y-3x+1)}=1$, можно рассуждать так: пусть $p$ --- простое число, для которого $y \equiv y-3x+1 \equiv 0 \pmod{p}$. Тогда из равенства $x^3=y(y-3x+1)$ следует $x \equiv 0 \pmod{p}$, и мы получаем противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение31.07.2021, 16:24 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Давайте продолжим в этой же теме. Следующая задача:

Докажите, что уравнение $3x^4+3x^2+1=y^2$ неразрешимо в натуральных числах. Иными словами, на соответствующей эллиптической кривой есть только две целые точки --- $(0,\pm 1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение31.07.2021, 16:42 
Заблокирован


16/04/18

1129
Простите глупый вопрос - с 4й степенью это тоже эллиптическая кривая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение31.07.2021, 17:18 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1527728 писал(а):
с 4й степенью это тоже эллиптическая кривая?
В данном случае да. Ее можно привести к форме Вейерштрасса, будет кубическая кривая.

На всякий случай: не всякая кривая 4-й степени является эллиптической. Эллиптическая кривая --- это кривая рода 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целые точки эллиптической кривой
Сообщение01.08.2021, 18:49 
Аватара пользователя


23/12/18
430
nnosipov в сообщении #1527725 писал(а):
Докажите, что уравнение $3x^4+3x^2+1=y^2$ неразрешимо в натуральных числах. Иными словами, на соответствующей эллиптической кривой есть только две целые точки --- $(0,\pm 1)$.

(решение)

Воспользуемся тем, что если для взаимно простых $x, y$ $x^2+y^2=z^3$, то $\exists a,b:\; z = a^2 + b^2,\, x = a^3-3ab^2,\, y = 3a^2b - b^3$ (причём, очевидно, $\gcd (a,b) = 1$):

$(x^3)^2 + y^2 = (x^2+1)^3$, тогда $x^2 + 1 = a^2 + b^2 \;\eqno{(1)}$, $x^3 = a^3 - 3ab^2 = a(a^2 - 3b^2)\;\eqno{(2)}$. Из $(2)$ следует $a = u^3,\, x = uv$ для некоторых $u,v$. Тогда из $(1)$
$$b^2-1 = x^2 - a^2 = u^2v^2 - u^6$$ $$b^2-1 = u^2(v-u^2)(v+u^2) \eqno{(3)}$$, в частности, $\gcd(b, v-u^2) = 1$ и из $(2)$ после деления на $u^3$ (случай $u = 0$ тривиален)
$$\frac{3ab^2}{u^3} = \frac{3u^3b^2}{u^3} = \frac{-(x^3-a^3)}{u^3} = -\frac{u^3v^3 - u^9}{u^3}$$ $$3b^2 = - (v-u^2)(v^2+vu^2+u^4) \eqno{(4)}$$
что возможно только когда $v - u^2 \in \{-1, -3\}$ (ибо $\gcd(3b^2, v-u^2) \mid 3$ и из $(4)\; v-u^2 \leq 0$). При $v = u^2-1$ или $v = u^2-3$ из равенства $(3)$ следует $|u| \leq 1$, иначе правая часть меньше $-1$. Случаи $u = \pm 1$, $v \in \{0, -2\}$ легко рассмотреть отдельно, тогда равенства не могут выполняться.
То есть $u = 0$, откуда $x = 0$
P. S. Можно было сразу написать, что из $(2) + 3a \cdot (1)\quad (x-a)(x-2a)^2 = -3a$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group