2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 01:19 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Давайте чуть иначе. Момент высадки считаем нулевым, а фаза быстрой (fast) пальмы $f=0...59$ и фаза медленной (slow) пальмы $s=0...119$ — это независимые равномерно распределённые дискретные случайные величины. Фаза пальмы, по определению, это момент первого падения кокоса с этой пальмы, начиная с момента высадки.

Условие, что в момент высадки упал один кокос: $f=0$ или $s=0$, но не оба. Далее рассматриваем только такие исходы, когда это условие выполнено. Та пальма, фаза которой равна нулю, и называется первой.
Условие, что второй кокос упал не ранее чем через полчаса: если $f=0$, то $s\geqslant 30$; если $s=0$, то $f\geqslant 30$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 01:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
svv в сообщении #1520435 писал(а):
Мне помог такой костыль, как дискретное время.

Это выглядит нечестно - ведь исходно, до аннигиляций, случайная точка высадки (время, остров) равномерно распределена на прямоугольнике... а первая аннигиляция редуцирует его до трёх отрезков (без крайних точек) - а у них мера 0....

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 01:30 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Утверждаете ли Вы, что если потом устремить шаг дискретности к нулю, условные вероятности не будут стремиться к вероятностям исходной задачи?
Приём и был задуман как избавляющий от необходимости сравнивать нулевые меры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 01:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
svv в сообщении #1520444 писал(а):
Утверждаете ли Вы

Ну это уж совсем нечестно - я высказал сомнения, а с меня требуют доказательство :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 01:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Хорошая модель должна обеспечивать (пусть в пределе при $\Delta t\to 0$), что с вероятностью $2/3$ первая пальма оказывается быстрой, а с вероятностью $1/3$ медленной. Не хотелось вводить это аксиоматически.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
svv в сообщении #1520444 писал(а):
Приём и был задуман как избавляющий от необходимости сравнивать нулевые меры.

Думаю, надо "разбавить" точные величины (упал кокос, шёл полчаса) небольшим случайным "шумом" и доказать, что от распределения шума результат не зависит...

Хотя я почти не сомневаюсь, что результат будет положительным, но хочется каких-то оснований работоспособности такого приёма (а то вот он мне понравился, а его применю когда нельзя)... :-)

-- 30.05.2021, 01:54 --

svv в сообщении #1520446 писал(а):
с вероятностью $2/3$ первая пальма оказывается быстрой, а с вероятностью $1/3$ медленной.

Там же отношение длин отрезков 1 к 3?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 02:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
В непрерывной модели фазы лучше измерять в часах. Тогда мы работаем на прямоугольнике $(f,s)\in [0;1)\times[0;2)$. Моряк избегает первой аннигиляции, если попадает либо на ось абсцисс, либо на ось ординат (но не на обе, но это мелочь). Их пересечение с прямоугольником даёт объединение двух открытых отрезков (красненькие). Может, на этом объединении и надо вводить меру? Вертикальный отрезок соответствует случаю, когда $f=0$, то есть когда первая пальма — быстрая, и он вдвое длиннее горизонтального, отсюда и отношение вероятностей. (Другой способ сказать, что быстрая пальма даёт кокосы вдвое чаще.)
Изображение


На всякий случай повторю, я теперь использую такие соглашения, они лучше:
svv в сообщении #1520442 писал(а):
Давайте чуть иначе. Момент высадки считаем нулевым, а фаза быстрой (fast) пальмы $f=0...59$ и фаза медленной (slow) пальмы $s=0...119$ — это независимые равномерно распределённые дискретные случайные величины. Фаза пальмы, по определению, это момент первого падения кокоса с этой пальмы, начиная с момента высадки.


-- Вс май 30, 2021 03:12:09 --

Geen в сообщении #1520447 писал(а):
Там же отношение длин отрезков 1 к 3?
А, наконец, я Вас понял. Я имел в виду, $1:2$ после первой аннигиляции. А до второго условия (про полчаса) я ещё не дошёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 03:13 


20/04/10
1776
svv
Возможно, имеет смысл на графике сразу указать, что ненулевая фаза больше получаса. Тогда отношение отрезков будет таким, как указал Geen. Пока набирал сообщение вы про это сказали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 03:23 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Тогда вот такой график:
Изображение
Думаю, в самом деле надо ввести меру на объединении этих отрезков, а в рассмотрении дискретного варианта нет необходимости.

Добавил циферки в формате ${\color{blue}T_1;}{\color{magenta}T_2}$.
${\color{blue}T_1}$ — сколько времени моряку ждать кокоса, если он сядет под первой пальмой.
${\color{magenta}T_2}$ — сколько ждать, если сядет под второй пальмой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 09:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
lel0lel в сообщении #1520418 писал(а):
Пока моряк шёл до пальм прошло полчаса, за это время кокосы не падали.
Пока моряк шёл до пальм прошло $30(3-\sqrt{3})$ минут, за это время кокосы не падали. Куда теперь бежать моряку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 11:02 


21/05/16
4292
Аделаида
Тогда получается такое решение в общем виде (всё взято из решения svv):
$f=0$ или $s=0$ (не оба). Если прошло $x$ часов, то, если $f=0$, $s\geq x$, а если $g=0$, $g\geq x$. Если $x\geq1$, описанная ситуация невозможна. Значит, $x<1$.
У нас есть отрезки $f=0, x\leq s<2$ и $s=0, x\leq f<1$. Соотношение их длин составляет $2-x$ к $1-x$. Значит, вероятность того, что нам выпал первый отрезок (т.е. первая пальма - быстрая) равна $\dfrac{2-x}{3-2x}$, а того, что второй - $\dfrac{1-x}{3-2x}$.
Если нам выпал первый отрезок, то под первой пальмой моряк получит кокос за $1-x$ часов, а под второй - через $s-x$, что в среднем составляет $\dfrac{x+2}2-x=1-0.5x$.
Если нам выпал второй отрезок, то под второй пальмой моряк получит кокос за $2-x$ часов, а под первой - через $f-x$, что в среднем составляет $\dfrac{x+1}2-x=0.5-0.5x$.
Значит, среднее время получения кокоса под первой пальмой составляет $(1-x)\dfrac{2-x}{3-2x}+0.5(1-x)\dfrac{1-x}{3-2x}=\dfrac{(1-x)(2.5-1.5x)}{3-2x}=\dfrac{2.5-4x+1.5x^2}{3-2x}$, а под второй - $0.5(2-x)\dfrac{2-x}{3-2x}+(2-x)\dfrac{1-x}{3-2x}=\dfrac{(2-x)(2-1.5x)}{3-2x}=\dfrac{4-5x+1.5x^2}{3-2x}$.
Очевидно, что числа $1.5x^2$ и $3-2x$ положительны. Значит, нам надо сравнить числа $2.5-4x$ и $4-5x$. Нетрудно заметить, что второе число всегда больше (т.к. $x<1.5$).
Значит, моряк должен всегда выбирать первую пальму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 11:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
TOTAL в сообщении #1520459 писал(а):
Куда теперь бежать моряку?

https://youtu.be/_FQEA0dAA0I

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 11:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
kotenok gav в сообщении #1520464 писал(а):
Значит, моряк должен всегда выбирать первую пальму.

Первая пальма даст орех минимум через час.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 11:36 


21/05/16
4292
Аделаида
TOTAL, да. Но в среднем вторая пальма даст орех позже, чем первая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кокосовые пальмы
Сообщение30.05.2021, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4318
И вообще, гонимый жаждой моряк за полчаса пройдёт не менее 3км - разглядеть с такого расстояния пальму, а уж тем более что там с чего падало.... :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 59 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group