2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Биссектральные треугольники
Сообщение22.04.2021, 09:38 


03/03/12
1380
Все треугольники можно разделить на три непересекающиеся класса $\{M_1;M_2;M_3\}$: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные.

Определение: треугольник, вершины которого являются основаниями биссектрис к противоположным сторонам какого-либо треугольника, называется биссектральным по отношению к этому треугольнику.

Вопрос 1: верно ли, что все биссектральные треугольники в каждом из классов$\{M_1;M_2;M_3\}$ одного вида (т.е., вид биссектральных треугольников" в каждом из классов $\{M_1;M_2;M_3\}$ непрерывен по отношению к свойству "остроугольность", "прямоугольность", "тупоугольность"; иначе - в каждом из классов не может быть биссектральных треугольников более одного вида (двух?))

Вопрос 2: существуют ли прямоугольные биссектральные треугольники?

(Если в общем виде задача сложна, можно рассмотреть частные случаи (например, рассматривать только равнобедренные треугольники.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение22.04.2021, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Поигрался в Геогебре, похоже, что:
1. У остроугольных и прямоугольных треугольников биссектральные треугольники всегда остроугольные.
2. У тупоугольных треугольников биссектральные треугольники могут быть любого вида.
3. Вообще биссектральный треугольник "ближе к равностороннему", чем порождающий его: угол напротив наибольшего всегда меньше его, а угол напротив наименьшего всегда больше его.
Но доказывать эти утверждения не хочется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение22.04.2021, 14:50 


02/04/18
240
Примем длину наибольшей стороны треугольника за единицу, вершина $A$ - противоположная ей (в случае нескольких наибольших традиционно берем любую).
ГМТ точек $A$ очевидно - "лепесток"-пересечение двух окружностей единичного радиуса. Теперь рассмотрим "семейства" точек $A$, расположенных на лучах, исходящих из середины наибольшей стороны. Семейство, соответствующее серединному перпендикуляру, определяет равнобедренные треугольники, окружность радиуса 0.5, проведенная из этой середины, задает положение прямоугольных треугольников, внутри окружности - тупоугольные, снаружи (но внутри лепестка) - остроугольные.

Собственно, все готово к обсуждению вопросов задачи. Теперь можно рассмотреть угол $\alpha$ биссектрального треугольника при вершине, построенной на наибольшей стороне, и определить его зависимость от полярных координат точки $A$. Попутно вылезут "изолинии" $\rho(\varphi)$, "пробегая" по которым точкой $A$, мы не изменим угол.
Ясно, что при малых $\rho$ угол почти $\pi$; возле границ лепестка плавно меняется от $\pi/3$ к большему значению (прикидки "на коленке" дают, что асимптотически стремится к $\arctg 2\approx 63.4^o$).

А теперь совсем все. В силу непрерывности $\alpha=\alpha(\rho, \varhi)$ изолиния прямоугольных биссектральных должна:
а) существовать
б) лежать где-то внутри лепестка
в) более того (после "игр" с той же джеоджеброй) - внутри окружности радиуса 0.5.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение22.04.2021, 19:57 


03/03/12
1380
Итак, с помощью Геогебры, по словам worm2, имеем в классе тупоугольных треугольников биссектральные треугольники, по крайней мере, не одного вида.
Если со зрением у worm2 проблем нет, то этот факт можно стопудово зачесть.
Насчёт прямоугольных биссектральных треугольников зачёт вероятностный (не стопудовый, т.к. для стопудовости, на мой взгляд, требуется аналитическое доказательство).
Dendr, к сожалению, мне Ваше доказательство мало понятно (особенно без чертежа). Я правильно поняла, что Вы доказали существование прямоугольных биссектральных треугольников? Если доказали, то отлично.

Моё решение.

Для равнобедренных нетупоугольных треугольников задача проста и сводится к решению неравенства: при $a=b$

$\frac{4(c^2-4a^2)a^2}{c^2(a+c)^2+4a^2c^2-4ac^3}<2$

Вольфрам говорит, что неравенство верно во всей области определения, что аналитически подтверждает для равнобедренных нетупоугольных треугольников
worm2 в сообщении #1515264 писал(а):
1. У остроугольных и прямоугольных треугольников биссектральные треугольники всегда остроугольные.

Т.е. прямоугольных биссектральных там нет, т.к. все они остроугольны.
Остаётся исследовать класс равнобедренных тупоугольных треугольников на предмет наличия у них прямоугольных биссектральных треугольников, т.к., по словам worm2, тупоугольные и остроугольные биссектральные там имеются. Задача проста. Следует лишь скормить Вольфраму соответствующее неравенство.

Замечание.
Я, вообще, эту задачу решала с помощью гипотетических рассуждений. Аналитически переход от равнобедренных треугольников к произвольным с помощью решения соответствующего неравенства громоздок и даже не знаю решабельно ли само неравенство. Поэтому аналитические решения приветствуются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение23.04.2021, 12:19 


02/04/18
240
Вот с чертежом.
Изображение

1. Поскольку все соотношения остро- и тупоугольности не меняются при преобразовании подобия, можем считать, что наибольшая сторона данного треугольника - $BC=1$. Начертим отрезок $BC$ в системе координат - из начала отсчета вдоль положительного направления оси $Ox$, без ограничения общностей можем сичтать, что треугольник расположен выше этой оси.
2. По построению, $AB\le BC, AC\le BC$. Построим дуги окружности радиуса 1 с центрами в $B, C$, пусть точка пересечения - $O$. Тогда вершина $A$ лежит внутри криволинейного треугольника $OBC$.
3. Выберем положение точки произвольным. Поскольку наибольший угол лежит против наибольшей стороны, то угол $BAC$ - и есть наибольший (один из наибольших). Дополнительно построим пунктиром полуокружность с диаметром $BC$, понятно, что если $A$ находится на ней, то треугольник прямоугольный. Если ниже - тупоугольный, выше - остроугольный.
4. Строим биссектрисы $AF, BE, CD$ и рассматриваем биссектральный треугольник $FED$. Наибольший его угол - $\angle DFE$, и величина: а) является непрерывной функцией от координат точки $A$, б) характеризует его тип.
5. Вблизи границ криволинейного треугольника $OBC$ эта функция ведет себя по-разному. Очевидно, что если $A=O$, то данный треугольник правильный, и $\angle DFE=\pi/3$. Вдоль дуг и вдоль перпендикуляра, опущенного из $O$, мы имеем равнобедренные треугольники, и угол рассчитать проще (но это я делать здесь не стану), по дуге он растет медленно, стремясь к $\arctg 2$, по перпендикуляру быстро, стремясь к развернутому углу.
Вблизи $BC$, очевидно, угол стремится к развернутому.
Очень большие особенности есть, когда $A$ близко к $B$ или $C$, и, при серьезном подходе, потребуют глубокого анализа, но там, в основном, у нас получаются тупоугольные треугольники, так что итоговых выводов это не поменяет.
6. Так же относительно просто найти зависимость при "скольжении" $A$ вдоль пунктирной полуокружности. Формула в явном виде, правда, выйдет монструозной, я ее до конца так и не довел.

7. В общем, важно то, что при движении точки $A$ от дуги к оси $Ox$ угол $DFE$ растет от 60 до 180 градусов (в геометрическом калькуляторе можно, кроме того, выяснить, что он всегда меньше $\angle BAC$), а значит, пробегает все возможные значения. Так что биссектральный треугольник может быть и остро- и прямо - и тупоугольным, причем существуют непрерывные ГМТ положений $A$, для которых угол принимает каждое данное значение. В том числе, и 90 градусов.

Остроугольные и прямоугольные треугольники порождают только остроугольные биссектральные; тупоугольные могут породить любой тип.

P.S. Для полноты не хватает строго геометрического доказательства, что $\angle DFE\le\angle BAC$. Сдается мне, что это возможно, хотя не пробовал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение23.04.2021, 21:13 


03/03/12
1380
Dendr, спасибо за чертёж и пояснения.
Dendr в сообщении #1515364 писал(а):
Остроугольные и прямоугольные треугольники порождают только остроугольные биссектральные; тупоугольные могут породить любой тип.

P.S. Для полноты не хватает строго геометрического доказательства, что $\angle DFE\le\angle BAC$. Сдается мне, что это возможно, хотя не пробовал.


Т.е., если я правильно поняла, Ваше утверждение на данный момент носит гипотетический характер. (Тоже неплохо.)

Интересно было бы узнать: тупоугольные треугольники равнобедренные и разносторонние могут ли порождать соответственно любой тип биссектральных теугольников. Или это возможно только для одного вида тупоугольных треугольников. (Вопрос навеян, правда, отдалённо, Шарыгинскими треугольниками.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение24.04.2021, 02:00 


05/09/16
11469
Dendr в сообщении #1515364 писал(а):
а) является непрерывной функцией от координат точки $A$,

И это дуга окружности, проходящей через $B$ и $C$, радиусом $\dfrac{BC}{\sqrt{3}}$ то есть в случае ваших обозначений, с центром $K$ с координатами $\left(\dfrac{BC}{2};-\dfrac{BC}{2\sqrt{3}}\right)$ Ну и для построения, $\angle BCK = \angle CBK = \pi/6$
Все $A$ под этой дугой будут давать тупые $\angle DFE$, все что выше дуги -- соответсвенно острые.

-- 24.04.2021, 02:50 --

TR63 в сообщении #1515452 писал(а):
Интересно было бы узнать: тупоугольные треугольники равнобедренные и разносторонние могут ли порождать соответственно любой тип биссектральных теугольников.

Да, могут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение24.04.2021, 03:09 


05/09/16
11469
Иллюстрация к предыдущему посту.
Изображение
Мелкий (нижний) пунктир разделяет тупоугольные и остроугольные биссектральные треугольники. На нем лежит вершина $A$ прямоугольных порождающих треугольников.
Крупный (верхний) пунктир разделяет тупоугольные и остроугольные порождающие треугольники. На нем лежит вершина $A$ пораждающего (тупоугольного) треугольника, для которого биссектральный -- прямоугольный. Один из них изображен (угол $DFE$ прямой).

Между пунктирами зона, где порождающий треугольник тупоугольный, а биссектральный -- остроугольный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение24.04.2021, 14:58 


03/03/12
1380
wrest, пытаюсь разобрать пояснения, сделанные Вами к своему чертежу.
wrest в сообщении #1515476 писал(а):
Мелкий (нижний) пунктир разделяет тупоугольные и остроугольные биссектральные треугольники.


Допустим, что это верно.
wrest в сообщении #1515476 писал(а):
На нем лежит вершина $A$ прямоугольных порождающих треугольников.

Наверное, Вы подразумевали, что на этом пунктире лежат вершины тупоугольных треугольников, порождающих прямоугольные биссектральные треугольники?
wrest в сообщении #1515476 писал(а):
Крупный (верхний) пунктир разделяет тупоугольные и остроугольные порождающие треугольники.

Это понятно.
wrest в сообщении #1515476 писал(а):
На нем лежит вершина $A$ порождающего (тупоугольного) треугольника

Вы хотели сказать прямоугольного? (На крупном пунктире не может быть вершин тупоугольных треугольников.)

Дальше непонятно.
Далее
wrest в сообщении #1515476 писал(а):
Между пунктирами зона, где порождающий треугольник тупоугольный, а биссектральный -- остроугольный.

Возможно, что это верно. Аналитическое доказательство у Вас имеется? Далее, Вы рассмотрели случай разностороннего тупоугольного порождающего треугольника. Осталось рассмотреть случай равнобедренного тупоугольного порождающего треугольника (желательно аналитически).

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение24.04.2021, 16:45 


05/09/16
11469
TR63 в сообщении #1515528 писал(а):
Наверное, Вы подразумевали, что на этом пунктире лежат вершины тупоугольных треугольников, порождающих прямоугольные биссектральные треугольники?

Да, на мелком пунктире порождающие трегольники тупоугольные, а биссектральные - прямоугольные.

-- 24.04.2021, 16:55 --

TR63 в сообщении #1515528 писал(а):
Далее, Вы рассмотрели случай разностороннего тупоугольного порождающего треугольника. Осталось рассмотреть случай равнобедренного тупоугольного порождающего треугольника (желательно аналитически).

Вершины $A$ равнобедренных порождающих треугольников лежат на прямой $x=\dfrac{BC}{2}=0,5$ (т.е. на серединном перпендикуляре к $BC$).
Там по картинке вроде все просто. Тупой угол от 90 до 120 градусов порождающего равнобедренного треугольника, порождает остроугольный биссектральный треугольник, больше 120 градусов - тупоугольный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение25.04.2021, 10:57 


03/03/12
1380
Пока что обсуждение на уровне гипотез.
Хорошо.
Рассмотрим следствие из полученных гипотез.

Пусть $\{M_1M_2M_4\}$ вершины правильного восьмиугольника. $\angle M_1M_2M_4=112.5^\circ$. Это означает, что его биссектральный $\{M_1'M_2'M_4'\}$ не является равнобедренным (следует из теории Шарыгинских треугольников).
Рассмотрим$\{M_1'M_2'M_4'\}$ как порождающий. Его биссектральный может быть равнобедренным? Если произошло увеличение порождающего угла, то не может.

Вопрос: верно ли, что последовательность вложенных биссектральных углов является монотонной по отношению к изменению величины биссектрального угла. Если "да", то возрастает или убывает?

Интересует также величина угла $\{M_1'M_2'M_4'\}$.
С помощью чертежа на глаз определить трудно. Может поможет Геогебра дать примерное значение? Конечно, можно рассчитать аналитически, но очень громоздко, и можно ошибиться с арифметикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение25.04.2021, 13:23 


05/09/16
11469
TR63 в сообщении #1515595 писал(а):
Интересует также величина угла $\{M_1'M_2'M_4'\}$.
С помощью чертежа на глаз определить трудно. Может поможет Геогебра дать примерное значение?

$83,855737^\circ$ а следующий за ним (т.е. порожденный им) равен $67,804576^\circ$
Изображение



-- 25.04.2021, 13:27 --

TR63 в сообщении #1515595 писал(а):
Вопрос: верно ли, что последовательность вложенных биссектральных углов является монотонной по отношению к изменению величины биссектрального угла. Если "да", то возрастает или убывает?

Не понял что значит "монотонной по отношению к", но монотонно стремится к $\pi/3$
Биссектральный угол меньше порождающего. Но не меньше $\pi/3$, мы же говорим о наибольшем угле?

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение25.04.2021, 21:47 


03/03/12
1380
wrest, спасибо за чертёж (всё отлично видно).
wrest в сообщении #1515610 писал(а):
Не понял что значит "монотонной по отношению к", но монотонно стремится к $\pi/3$

Это можно удалить и оставить вопрос в виде:
TR63 в сообщении #1515595 писал(а):
Вопрос: верно ли, что последовательность значений максимальных углов вложенных биссектральных треугольников является монотонной. Если "да", то возрастает или убывает?

wrest в сообщении #1515610 писал(а):
мы же говорим о наибольшем угле?


да.

Далее я хочу экстраполировать нечто с помощью гипотетических рассуждений на все правильные многоугольники при $n>8$. И известно, что некоторые свойства подтверждаются экспериментально при $8<n\le2000$ (т.е. гипотеза, которой я пользуюсь правдоподобна; кстати из неё получается, что при $n=7$ исходный порождающий треугольник является Шарыгинским; также получается свойство монотонности последовательности значений максимальных углов вложенных биссектральных треугольников при $n\ge8$, но это свойство надо проверить хотя бы экспериментально).

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение25.04.2021, 22:59 


05/09/16
11469
TR63
Ну смотрите. Для любого порождающего треугольника, имеющего угол равный 120 градусов, порождаемый биссектральный треугольник будет прямоугольным. [Наибольший] угол биссектрального треугольника не больше [наибольшего] угла порождающего (равнество имеет место в одном случае -- равностороннего порождающего треугольника).

Отсюда, мне кажется, следует всё, что вам надо? Биекции между углом порождающего и биссектрального треугольника нет. Одному и тому же углу порождающего треугольника соотвествует диапазон углов биссектрального треугольника. Исключение - прямоугольный биссектральный треугольник. Его порождает только треугольник с углом 120 градусов (как равнобедренный так и разносторонний) и никакой другой.

Что вы хотите экстраполировать не вполне ясно. Сформулируйте вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение26.04.2021, 20:20 


03/03/12
1380
wrest в сообщении #1515655 писал(а):
[Наибольший] угол биссектрального треугольника не больше [наибольшего] угла порождающего (равнество имеет место в одном случае -- равностороннего порождающего треугольника).

Отсюда, мне кажется, следует всё, что вам надо?


TR63 в сообщении #1515645 писал(а):
получается свойство монотонности последовательности значений максимальных углов вложенных биссектральных треугольников при $n\ge8$

Но
Dendr в сообщении #1515364 писал(а):
Для полноты не хватает строго геометрического доказательства, что $\angle DFE\le\angle BAC$. Сдается мне, что это возможно, хотя не пробовал.

Т.е. пока не предъявлено доказательство, что $\angle DFE\le\angle BAC$, утверждение о монотонности последовательности значений максимальных углов вложенных биссектральных треугольников при $n\ge8$ является гипотезой.
Я прошу проверить её экспериментально или привести доказательство факта о том, что $\angle DFE\le\angle BAC$ в утверждении Dendr.
wrest, Вы уже начали фактически проверку при $n=8$ и получили начало последовательности ${83,85; 63,13;...}$. Теперь следует её продолжить в поисках нарушения свойства монотонного убывания. Далее делаем это же для $n=9$ и т.д..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group