2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение26.04.2021, 21:41 


05/09/16
11468
TR63 в сообщении #1515743 писал(а):
и получили начало последовательности ${83,85; 63,13;...}$

Не так. $\{83,86;67,80;62,13;...\}$ Ну не суть.

-- 26.04.2021, 22:01 --

TR63 в сообщении #1515743 писал(а):
Т.е. пока не предъявлено доказательство, что $\angle DFE\le\angle BAC$

Мне кажется, что это легко следует из теоремы о биссектрисе (биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам). Попробуете? :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение27.04.2021, 22:39 


03/03/12
1380
wrest в сообщении #1515752 писал(а):
Попробуете?

Свела задачу к решению неравенства

$b>c>a$
$b+c+a=1$
$a^3+3ca^2-c(3-2c)a+c(1-2c)>0$

При $c=a$ решается устно, что аналитически подтверждает гипотезу для равнобедренного треугольника. Если для разностороннего треугольника неравенство верно, то ОК. На Вольфраме не решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение28.04.2021, 13:40 


05/09/16
11468
TR63
Пусть у нас дан треугольник в ранее принятых обознаениях как на картинке Dendr то есть сторона $BC$ наибольшая, соответственно угол биссектрального треугольника $\angle DFE$ наибольший. Для краткости, обозначим углы одной буквой.
Тогда из очевидных (или не совсем очевидных :) ) преобразований следует:
$\tg \angle F=\dfrac{\sin \angle B + \sin \angle C}{\cos \angle A +0,5}$
Прямоугольность биссектрального треугольника (т.е. $\angle F = 90^\circ $) бывает только в случае $\angle A = 120^\circ$.
Числитель всегда положительный т.к. оба синуса положительные. Отрицательный тангенс биссектрального угла (т.е. сам угол тупой) получается при отрицательном знаменателе, то есть $\angle A > 120^\circ$ Положительный тангенс биссектрального угла (т.е. сам угол - острый), соответственно, при $0^\circ < \angle A < 120^\circ$
Осталось разобраться с тем, что $\angle A > \angle F$ для $\angle A>60^\circ$ (ну и ессно, $\angle A > \angle B \ge \angle C$ и $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение28.04.2021, 13:50 


06/01/09
231
Зафиксируем с и будем менять a (при этом еще b меняется).
производная по a равна $3a^2+6ac+2c^2-3c$ и очевидно возрастает при $a\in [0;c]$. В нуле это $2c^2-3c=c(2c-3)<0$, в с это $11c^2-3c$ (это обычно положительно). Значит функция сперва убывает, потом возрастает. Интересует ее значение при условии $3a^2+6ac+2c^2-3c=0$ (если оно везде отрицательно, то значение в точке с, но там все нормально - при a=c)

$3(a^3+3a^2c+a(2c^2-3c)+(c-2c^2))=3(a^3+3a^2c+a(2c^2-3c)+(c-2c^2))-a(3a^2+6ac+2c^2-3c)=3a^2c+2a(2c^2-3c)+3(c-2c^2)$

Делим на с
$3a^2+2a(2c-3)+3(1-2c)=3a^2+2a(2c-3)+3(1-2c)-(3a^2+6ac+2c^2-3c)=-2ac-6a+3-3c-2c^2$
А вот дальше пока не вышло. Эта штука бывает отрицательной - но не в корне производной. А если в корне - то условие про b>c>a не выполнено...

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение28.04.2021, 22:06 


03/03/12
1380
vlad239, при $c\ge\frac1 3$ можно решать через квадратное неравенство (с помощью Вольфрама, только правильно скормив):

$$2(1-a)c^2-(3a^2-3a+1)c-a^3\le0$$

Тогда достаточно рассмотреть случай, когда $0<c<\frac1 3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение30.04.2021, 16:53 


06/01/09
231
неравенство вроде бы неверно при a=1/5, c=2/5. Я понимаю, что там неравенства нестрогие, но можно чуть подвигать будет по непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Биссектральные треугольники
Сообщение30.04.2021, 22:06 


03/03/12
1380
При $c\le c_0$, $(c_0)$ (корень) неравенство верно. Значит гипотеза о биссектральном угле в этой области верна. При $c\ge c_0$ неравенство абсолютно ложно во всей области определения. Но это не значит, что гипотеза о биссектральном угле неверна, т.к. само неравенство является достаточным условием верности гипотезы.
Следовательно, пока аналитического решения нет. Возможно есть простой геометрический способ доказать гипотезу о биссектральном угле аналитически.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group