Вторая и третья производная композиции отображений

[Padawan]

В который раз размышляя о том, что такое производная и дифференциал, проделал следующие вычисления (по сути банальные, но все же)
Пусть $f\colon X\to Y$, $\varphi\colon T\to X$ -- отображения нормированных пространств.

По определению, первая производная $f'(x)$ есть элемент пространства $\mathscr L (X,Y)$, а вторая производная $f''(x)$ есть элемент пространства $\mathscr L (X,\mathscr L(X,Y))$, которое можно отождествить с пространством $\mathscr L_2(X,Y)$ билинейных отображений из $X$ в $Y$. Для пары векторов $h_1,h_2\in X$ вместо $f''(x)(h_1,h_2)$ будем писать просто $f''(x)h_1h_2$. Это симметричная билинейная форма $f''(x)h_1h_2=f''(x)h_2h_1$. Дифференциал второго порядка, по определению есть соответствующая квадратичная форма $d^2f(x;h)=f''(x)hh$.

Найдём производные и дифференциалы сложной функции $\psi(t)=f(\varphi(t))\colon T\to Y$.

Первая производная

$$ \psi'(t)=f'(\varphi(t))\varphi'(t) $$

Первый дифференциал

$$ d\psi(t; dt)=\psi'(t)dt=f'(\varphi(t))\varphi'(t)dt=f'(x)dx $$

Вторая производная

$$ \psi''(t)\delta tdt=f''(\varphi(t))\varphi'(t)\delta t\varphi'(t)dt+f'(\varphi(t))\varphi''(t)\delta t dt $$

Второй дифференциал

$$ d^2\psi(t;dt)=f''(\varphi(t))\varphi'(t)dt\varphi'(t)dt+f'(\varphi(t))\varphi''(t)dtdt=f''(x)dxdx+f'(x)d^2x $$

Третья производная

$$ \psi'''(t)\partial t\delta tdt=f'''(\varphi(t))\varphi'(t)\partial t\varphi'(t)\delta t\varphi'(t)dt+f''(\varphi(t))\varphi''(t)\partial t\delta t\varphi'(t)dt+f''(\varphi(t))\varphi'(t)\delta t\varphi''(t)\partial t dt+ $$

$$ +f''(\varphi(t))\varphi'(t)\partial t\varphi''(t)\delta t dt+f'(\varphi(t))\varphi'''(t)\partial t\delta t dt $$

Третий дифференциал (учитываем симетричность формы $f''$)

$$ d^3\psi(t;dt)=f'''(\varphi(t))\varphi'(t)dt\varphi'(t)d t\varphi'(t)dt+3f''(\varphi(t))\varphi'(t)dt\varphi''(t)dtdt+f'(\varphi(t))\varphi'''(t)dtdtdt= $$

$$ =f'''(x)dxdxdx+3f''(x)dxd^2x+f'(x)d^3x $$

-- Вс апр 18, 2021 17:50:01 --

Следствие. Матрица Гессе сложной функции $\psi(t)=f(\varphi(t))$, где $f\colon\mathbb R^n\to \mathbb R$, $\varphi\colon \mathbb R^k\to\mathbb R^n$ равна

$$ H_\psi(t)=\varphi'(t)^TH_f(\varphi(t))\varphi'(t)+\left\|f'(\varphi(t))\frac{\partial^2\varphi(t)}{\partial t_p\partial t_q}\right\|_{p,q=1}^k, $$

где $\varphi'(t)$ -- матрица $n\times k$, $f'(\varphi(t))$ -- матрица-строка $1\times n$, $\frac{\partial^2\varphi(t)}{\partial t_p\partial t_q}$ -- матрица-столбец $n\times 1$, $H_f$ -- матрица $n\times n$, $H_\psi$ -- матрица $k\times k$.

[Padawan]

Конечно, это в координатах очевидно

$$ \frac{\partial^2\psi(t)}{\partial t_p\partial t_q}=\sum\limits_{i,j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\varphi(t))\frac{\partial\varphi_i(t)}{\partial t_p}\frac{\partial\varphi_j(t)}{\partial t_q}+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\varphi(t))\frac{\partial^2\varphi_i(t)}{\partial t_p\partial t_q} $$

-- Пн апр 19, 2021 23:48:12 --

Тут уже на форуме была мысль, что дифференциалы также как и производные не имеют смысла без указания того, по каким переменным они берутся, то есть без указания того, какие переменные считаются независимыми. Например, если есть функция $z(x,y)$, а $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, то надо отличать $d^2z$ как второй дифференциал от $z(x,y)$, от $d^2z$ как второго дифференциала от функции $z(u,v)=z(x(u,v),y(u,v))$. И писать, как-то так

$$d^2_{(x,y)} z=z''_{xx}dx^2+2z''_{xy}dxdy+z''_{yy}dy^2$$

$$d^2_{(u,v)} z=z''_{uu}du^2+2z''_{uv}dudv+z''_{vv}dv^2 $$

При этом

$$ d^2_{(u,v)}z=d^2_{(x,y)}z+z'_xd^2_{(u,v)}x+z'_yd^2_{(u,v)}y$$

(у дифференциала первого порядка можно не указывать по какой переменой он берется)

-- Пн апр 19, 2021 23:57:14 --

Хм, получается тогда (меня местами $(u,v)$ и $(x,y)$)

$$ z'_ud^2_{(x,y)}u+z'_vd^2_{(x,y)}v+z'_xd^2_{(u,v)}x+z'_yd^2_{(u,v)}y=0 $$

Интересно, это верно?

[Padawan]

Также можно писать, например, такие выражения $d^2_{(u,v)}d^2_{(x,y)}z$. Правила исчисления такие:
1) У дифференциалов первого порядка индекс не пишем (или можно написать любой);
2) $dz=z'_udu+z'_vdv$ для любой функции $z$ и любых координат $(u,v)$;
3)$d^n_{(u,v)}d^m_{(u,v)}z=d^{n+m}_{(u,v)}z$ для любой функции $z$ и натуральных $n,m$
4) $d_{(u,v)} (X+Y)=d_{(u,v)}X+d_{(u,v)}Y$ для любых выражений $X,Y$;
5) $d_{(u,v)} (XY)=Yd_{(u,v)}X+Xd_{(u,v)}Y$ для любых выражений $X,Y$.