2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 точный куб
Сообщение22.03.2021, 17:18 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Пусть положительные целые числа $a,x,y,z$ таковы, что $(xz+1)(yz+1)=az^3+1$ и $z\geq (a+1)^2$.
Докажите, что $a$ является кубом целого числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение23.03.2021, 07:52 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Перебрал на минутку все $x, y, z$ до 1000. Действительно Натурально, $a$ равно или 1, или 8.

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение23.03.2021, 08:56 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А мне понравилось, спасибо за задачу. Сейчас как раз сезон тренингов перед заключительным этапом ВМО, и это хорошее тренировочное упражнение для школьников, начиная с 9-го класса (если судить по тому рассуждению, что у меня получилось).
geomath в сообщении #1510551 писал(а):
Натурально, $a$ равно или 1, или 8.
Приоткрою тайну: в условиях задачи $a$ может быть равно любому точному кубу.

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение23.03.2021, 12:06 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
$xyz+x+y=az^2$
$x+y=kz$
$xy=az-k$

(z>2k)

$xy\ge kz-1$
$kz<az-k$
$k<\frac{az}{z+1}<a\le \frac{z}{2}$

$$k^2(x-y)^2=k^2\left((kz)^2-4(az-k)\right)=k^4z^2-4azk^2+4k^3=(k^2z-2a)^2+4k^3-4a^2$$ - полный квадрат, но
$(k^2z-2a)^2+4k^3-4a^2<(k^2z-2a+1)^2$ и
$(k^2z-2a)^2+4k^3-4a^2>(k^2z-2a-1)^2$ Кроме случая $k=1$ - Его легко разобрать отдельно.
Значит $4k^3=4a^2$, а значит $a$ - полный куб

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение23.03.2021, 12:27 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Null в сообщении #1510577 писал(а):
Кроме случая $k=1$ - Его легко разобрать отдельно.
В принципе, рассмотрение этого случая можно избежать.

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение23.03.2021, 12:33 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
nnosipov в сообщении #1510584 писал(а):
В принципе, рассмотрение этого случая можно избежать.
Из соображений четности? Вычитать не $1$, а $2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение23.03.2021, 12:34 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Нет, я имел в виду свое решение (см. ЛС).

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение25.03.2021, 21:40 
Аватара пользователя


23/12/18
430
Решение под спойлером

(Решение)

Пусть $x \leq y$. Докажем, что $x < \sqrt{z}$:
$az^2=xyz+x+y$,
откуда $x+y \vdots z$ и $xyz < az^2$, тогда $x + y \geq z$ и $xy < az \leq (\sqrt{z}-1)z$.
Положим $x+y = z+r,\quad xy = (\sqrt{z}-1)z - s$, тогда, как меньшее решение квадратного уравнения,
$x = (z+r-\sqrt{(z+r)^2-4[(\sqrt{z}-1)z - s]})/2 < (z+r-\sqrt{(z+r)^2-4(\sqrt{z}-1)z})/2 \leq (z-\sqrt{z^2-4(\sqrt{z}-1)z})/2 = \sqrt{z}$
, ч.т.д.

Далее, $y < az/x \leq az \leq z(\sqrt{z}-1) < z^2 - 1$. Значит, $yz+1 < z^3$, а поскольку
$yz+1 \equiv (xz+1)^{-1} \equiv (xz)^2 - xz + 1 \pmod{z^3}$ и
$0 < (xz)^2 - xz + 1 \leq (xz)^2 < (\sqrt{z}z)^2 = z^3$, то $yz + 1 = (xz)^2 - xz + 1$, откуда $a = x^3$.

nnosipov, а мне своё решение не отошлёте?

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение27.03.2021, 04:32 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Если еще кому интересно, то вот это решение.

Имеем $$ a=\frac{xyz+x+y}{z^2},$$ откуда $x+y=zt$ для некоторого натурального $t$. Можно считать, что $x \leqslant zt/2$. Тогда $$a=\frac{xy+t}{z}=\frac{x(zt-x)+t}{z}=xt+\frac{t-x^2}{z}=xt-\frac{x^2-t}{z}.$$ Если $t>x^2$, то $t=x^2+zu$ для некоторого натурального $u$. Значит, $$a=xt+u \geqslant t+1 \geqslant z+2$$ и $z \geqslant (a+1)^2 \geqslant (z+3)^2$, что невозможно. Пусть $t<x^2$. Поскольку $x^2-t$ делится на $z$, имеем $x \geqslant \sqrt{z+t}$. Функция $$f(x)=xt-\frac{x^2-t}{z}$$ возрастает на отрезке $[\sqrt{z+t},zt/2]$, поэтому $$ a=f(x) \geqslant f(\sqrt{z+t})=t\sqrt{z+t}-1,$$ откуда $a+1 \geqslant t\sqrt{z+t} \geqslant \sqrt{z+1}$. Значит, $z \geqslant (a+1)^2 \geqslant z+1$ --- противоречие. Итак, $t=x^2$ и $a=x^3$ --- точный куб.

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение27.03.2021, 07:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal
А откуда задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение27.03.2021, 08:55 


24/12/13
351
А еще равенство можно записать в виде
$$a^2-t^3=(xt-a)(yt-a)$$

так мы сможем доказать что $t<x^2$ без использования функции $f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение27.03.2021, 09:03 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
nnosipov в сообщении #1510553 писал(а):
Приоткрою тайну: в условиях задачи $a$ может быть равно любому точному кубу.
Очень большие числа получаются. Пусть $x= 10^n, n= 0, 1, 2, ...$ и $z= (a+1)^2.$ Тогда число цифр в $y$ образует арифметическую прогрессию с шагом $8$. Докажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение27.03.2021, 11:03 
Аватара пользователя


23/12/18
430
geomath
Здесь уже дважды доказали, что если $x \leq y$, то $a = x^3$, а $y = x^2z - x$. Остаётся случай $y \leq x$, тогда $10^n = y^2(y^3+1)^2 - y = y(y^7 + 2y^4 + y - 1)$, это невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение27.03.2021, 11:24 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
xagiwo
Мне сказали, что $a$ может быть кубом любого числа, и доказали, что $a = x^3$, ну я и взял для примера $x = 10^n$. Что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: точный куб
Сообщение27.03.2021, 11:50 
Аватара пользователя


23/12/18
430
geomath
Всё хорошо, просто утверждение тривиально из-за того, что $y = x^2z - x = x^2(x^3+1)^2 - x$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group