2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 03:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
С наступлением весны захотелось взять дробную (ровно треть) производную от синуса. Беру определение (For a general function $f (x)$ and $0 < \alpha  < 1$, the complete fractional derivative is):
$$  \displaystyle {D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.} $$
и понимаю, что Гамму от 2/3 я в какой-нибудь таблице найду, а вот при взятии производной от интеграла с переменным пределом, я получу тождественный ноль в знаменателе. Имею ступор.

ЧЯДНТ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 04:53 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Откуда ж там нулю-то быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 05:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Otta в сообщении #1507557 писал(а):
Откуда ж там нулю-то быть?
Разве верхний предел интеграла не подставится вместо $t$ согласно Лейбницa?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 05:55 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну положим, подставится. (Хотя не подставится.)
И ноль-то откуда?

-- 03.03.2021, 08:17 --

Dan B-Yallay
Ай, мои извинения. Я косая, про
Dan B-Yallay в сообщении #1507554 писал(а):
в знаменателе

не заметила. Ну да. Если бы формула Лейбница в этом случае работала, то был бы ноль в знаменателе. Но она не работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 06:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Otta в сообщении #1507562 писал(а):
Ну положим, подставится. (Хотя не подставится.)
И ноль-то откуда?

Я так и предполагаю, что где-то портачу, нo не могу найти.
Пользуюсь следующим вариантом правила Лейница, который описывает мой случай:

$$ \frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{x}f(x,t)dt\right)=f{\big (}x,x{\big )}+\int _{a}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)dt $$
где у меня $ a =0, $ $f(x,t)= \dfrac {\sin t}{(x-t)^{1/3}}$, соответственно

$$  \frac {d}{dx}}\left(\int _{0}^{x}\dfrac{\sin(t)}{(x-t)^{1/3}}dt\right)=\dfrac {\sin x}{(x-x)^{1/3}}+\int _{0}^{x}{\frac {\partial }{\partial x}} \Big(\dfrac {\sin x}{(x-t)^{1/3}}\Big)dt  $$
и в первом слагаемом в правой части красуется ноль в знаменателе.

-- Вт мар 02, 2021 21:27:12 --

Otta в сообщении #1507562 писал(а):
Если бы формула Лейбница в этом случае работала, то был бы ноль в знаменателе. Но она не работает.
Тогда возникает закономерный вопрос "почему?" . Я как-то не встречал ранее каких-либо ограничений на правило Лейбница.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 06:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dan B-Yallay в сообщении #1507563 писал(а):
и в первом слагаемом в правой части красуется ноль в знаменателе.

Потому что в таких условиях правило Лейбница не применяется. У Вас подынтегральная функция не непрерывна.

-- 03.03.2021, 08:37 --

Dan B-Yallay в сообщении #1507563 писал(а):
Тогда возникает закономерный вопрос "почему?" . Я как-то не встречал ранее каких-либо ограничений на правило Лейбница.

Ну как же. В той страничке, на которую Вы ссылаетесь вот тут: post1507561.html#p1507561 все условия есть )

Правда, как водится, чтобы не отпугивать публику, их хорошо спрятали.

Коротко говоря, если бы правило Лейбница тут работало, то и дробные производные были бы незачем. Это обобщение, и оно исходит из аксиоматического навязывания, пусть, мол, есть некий объект, для которого все будет так же определяться, как и в частном случае, когда интеграл и производная взаимно обратны. Определяться - да. Считать уже так не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 06:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Otta в сообщении #1507564 писал(а):
У Вас подынтегральная функция не непрерывна.
Так. Вот этого слона-то я и не приметил. :facepalm:
Мне казалось, что непрерывности внутри интервала $(0,x)$ достаточно.
Спасибо Вам!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 06:55 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dan B-Yallay в сообщении #1507565 писал(а):
Мне казалось, что непрерывности внутри интервала $(0,x)$ достаточно.

Для интегралов, зависящих от параметра, как здесь, условия еще более жесткие, там еще и непрерывность производной по параметру нужна.

Мне не лень было, я ее посчитала, эту производную, она очень невкусная. Сплошные гипергеометрические функции.
Гораздо симпатичнее производная порядка $1/2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 06:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Otta в сообщении #1507567 писал(а):
Гораздо симпатичнее производная порядка $1/2$.
Наверное. Но вот сердцу в марте не прикажешь, приспичило именно одну треть производной найти. :D

Ладно. Пойду мучиться с ней до появления первых признаков оскомины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 08:22 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Пример с синусом рассмотрен в Википедии: два раза взяли производную порядка 1/2 - получили косинус. А нельзя прямо здесь рассмотреть какое-нибудь популярное дифференциальное уравнение с дробной производной вместо обыкновенной, например логистическое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 08:58 
Заблокирован


16/04/18

1129
Уравнения - столько книг есть, можно посмотреть. Из проверенных - лекции Килбаса, Самко/Килбас/Маричев, Килбас/Трухильо, Подлюбный и тд. Всё лежит в известных закромах.
Про синус - Вы хотите взять от него дробную производную Римана-Лиувилля. На самом деле с ней проблемы, для периодических функций есть другое специальное определение - дробная производная Вейля. См. опять Самко/Килбас/Маричев или книгу Зигмунда.
Про правила Лейбница - для дробных производных они формулируются только в виде рядов, не конечных сумм. Есть такая теорема, если для оператора в естественных пространствах выполнено обычное правило Лейбница, то это только оператор умножения на функцию. Поэтому дробные производные не могут удовлетворять правилу Лейбница, как и не существует дробных производных с гладкими ядрами и тд.

(Оффтоп)

Хотя полно сейчас малограмотных исследователей и даже африканских негров (реальных), которые игнорируют эти теоремы, или делают вид, что их не знают, и пишут книги и статьи, которые заполонили литературу и журналы по дробным. Это хорошо организованный бизнес по публикациям псевдоматематического бреда, который крышуется заспециализировавшимися на этом журналами, редакциями и математиками, в том числе известными, некоторые из них публикуют по 200 статей в скопусе в год на подобные темы. Ну и миллионы перекрёстных ссылок друг на друга внутри этой разветвлённой шайки.

Если вернуться к определению дробной производной Римана-Лиувилля от синуса, то это не совсем естественно, цитирую Самко/Килбас/Маричев, с. 48:
Мы не останавливаемся здесь на дробном интегродифференцировании показательной функции $е^х$ и тригонометрических функций. Это
связано с существом дела: «римановская» форма дробного интегрирования, ... не дает естественной формулы типа...
Для экспонент есть выход в форме интегралов до бесконечности, а для тригонометрических функций - производные Вейля через ряды Фурье.
Вообще, эта книга содержит ответы на все основные вопросы по дробному интегродифференцированию, не зря её называют энциклопедией или библией по предмету.
P.S. посмотрел статью в вике, вызвала сомнения. Во-первых, в определении дробных интегралов нет условий на функции, без них они не всегда имеют смысл. В примере с синусом просто приведён ответ без обоснования. Мне непонятно, как его получили, уже первый интеграл в формуле для производной половинного порядка я не нашёл в справочниках, остальное тем более непонятно. Не зря нет английской версии.

-- 03.03.2021, 09:31 --

Otta - Для порядка 1/2 как Вы посчитали интеграл
$$
\int \frac{\sin(t)}{\sqrt{x-t}}\,dt
$$
в любых пределах?

 !  Оффтоп убран в теги. Просьба избегать такого сорта отступлений и лексики в учебном разделе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 09:43 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
novichok2018
Я его в любых пределах не считала. Я считала в указанных. Ну, интегралы Френеля вылезут, ничего особенного вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 10:30 
Заблокирован


16/04/18

1129
Otta- с Френелем не понял, зато нашёл нужный интеграл в справочнике Интегралы и ряды, т.1, с.315, 2.5.5. ф.1. Как Вы правильно писали, гипергеометрия, и, похоже, непростая.
Dan B-Yallay - дробная производная (как и любой интегральный оператор) с производной снаружи, и продифференцированный под знаком интеграла --- это два разных выражения с разными областями определения. Так не всегда можно делать, только на гладких функциях, а это не наш случай.
Так что похоже, формулы в вике неправильные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 10:44 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
novichok2018 в сообщении #1507590 писал(а):
с Френелем не понял,

Делаете замену, новая переменная равна знаменателю. Считаете интеграл. Получится сумма двух интегралов Френеля, один на косинус умноженный, другой на синус. Дифференцировать их труда не представит, уже в традиционном смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дробная производная.
Сообщение03.03.2021, 11:05 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
novichok2018 в сообщении #1507579 писал(а):
Уравнения - столько книг есть, можно посмотреть. Из проверенных - лекции Килбаса, Самко/Килбас/Маричев, Килбас/Трухильо, Подлюбный и тд. Всё лежит в известных закромах.
Да, скачал и посмотрел лекции Килбаса "Теория и приложения дифференциальных уравнений дробного порядка", 2009 г. Это нечестно. Тут проблема взять дробную производную хотя бы от синуса, а вы отсылаете к лекциям, где сам чёрт голову сломит. :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: epros


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group