Внешние формы и тензоры

[StaticZero]

Изучаю внешние формы по Ефимову.

Пусть у нас есть пространство размерности $n$. Я понял, что тензор -- это такая полилинейная форма на этом пространстве. Рассмотрим для простоты тензоры валентности 2.

1. Есть дважды ковариантный тензор. Это такая билинейная функция, которая принимает на вход два вектора и выдаёт скаляр. Всякую билинейную функцию можно разложить на сумму произведений линейных функций. Аргументация: пусть есть дважды ковариантный тензор -- билинейная функция $f(\mathbf x, \mathbf y)$. Фиксируем у неё один аргумент, для определённости $\mathbf y$. То, что осталось -- линейная форма от $\mathbf x$ -- раскладывается по базису примитивных линейных форм. Коэффициенты разложения могут зависеть не более, чем от замороженного аргумента. Рассмотрим один такой коэффициент, разморозим $\mathbf y$, имеем линейную форму, её тоже можно разложить. Получим

$$ f(\mathbf x, \mathbf y) = f_{ij} \mathsf e^i(\mathbf x) \mathsf e^j(\mathbf y), \qquad \mathbf x, \mathbf y \in L. $$

(векторы жирным, ковекторы прямые без засечек).

Я сделал такое упражнение. Пусть есть замена базиса для векторов вида $\mathbf h_i = {S^k}_i \mathbf e_k$. Сделаем замену $\mathbf x = x^i \mathbf e_i = \tilde x^i \mathbf h_i$, $\mathbf y = y^i \mathbf e_i = \tilde y^i \mathbf h_i$ и вставим её в дважды ковантантный тензор. Получим

$$ f(\mathbf x, \mathbf y) = f_{ij} \mathsf e^i(\tilde x^k \mathbf h_k) \mathsf e^j(\tilde y^m \mathbf h_m) = f_{ij} \tilde x^k \tilde y^m \mathsf e^i(\mathbf h_k) \mathsf e^j(\mathbf h_m) = f_{ij} {S^p}_k \tilde x^k {S^q}_m \tilde y^m \mathsf e^i(\mathbf e_p) \mathsf e^j(\mathbf e_q) = [f_{ij} {S^i}_k {S^j}_m] \tilde x^k \tilde y^m $$

так что $f_{ij} {S^i}_k {S^j}_m = \tilde f_{km}$ есть координаты тензора в новом базисе.

С другой стороны, мы можем поменять поменять ковекторный базис (с ковекторов снято полужирное обозначение), оставив на месте векторный: $ \mathsf e^i = {Q^i}_k \mathsf h^k$, ${Q_i}^m \mathsf e^i = {Q_i}^m {Q^i}_k \mathsf h^k = {\delta^m}_k \mathsf h^k = \mathsf h^m$ (здесь использовано, что $Q$ ортогональная). Получаем

$$ \begin{align*} f(\mathbf x, \mathbf y) &= f_{ij} {Q^i}_k \mathsf h^k (x^p \mathbf e_p) {Q^j}_m \mathsf h^m (y^q \mathbf e_q) = f_{ij} {Q^i}_k {Q^j}_m x^p y^q \mathsf h^k(\mathbf e_p) \mathsf h^m(\mathbf e_q) = \\ &= f_{ij} {Q^i}_k {Q^j}_m x^p y^q {Q_r}^k \mathsf e^r (\mathbf e_p) {Q_s}^m \mathsf e^s (\mathbf e_q) = f_{ij} x^p y^q {Q^i}_k {Q_r}^k {Q^j}_m {Q_s}^m {\delta^r}_p {\delta^s}_q = f_{ij} x^i y^j. \end{align*} $$

Когда мы перешли к новому ковекторному базису $ \mathsf h$, мы потеряли знание о том, как новые базисные ковекторы действуют на базисные векторы. Обретаем мы это знание как раз обратными преобразованиями... так что не изменилось ничего. Чистая индексная гимнастика. Надеюсь, что правильно всё сделал.

2. Есть дважды контравариантный тензор. Это такая билинейная функция, которая принимает на вход... функционалы?! В прочем, мы если зафиксируем базис и дуальный ему, то ковектор можно рассмотреть как вектор и определить на нём действие базисного вектора $\mathbf e_i( \mathsf e^j) \equiv \mathsf e^j(\mathbf e_i) = {\delta^j}_i$. В общем, получаем

$$ f(\mathsf x, \mathsf y) = f^{ij} \mathbf e_i(\mathsf x) \mathbf e_j(\mathsf y). $$

Снова, пусть есть замена базиса уже для ковекторов вида $\mathsf h^i = {V^i}_k \mathsf e^k$. Сделаем замену $\mathsf x = x_i \mathsf e^i = \tilde x_i \mathsf h^i$, $\mathsf y = y_i \mathsf e^i = \tilde y_i \mathsf h^i$ и вставим её в дважды контравантантный тензор. Получим

$$ \begin{align*} f(\mathsf x, \mathsf y) &= f^{ij} \mathbf e_i(\tilde x_k \mathsf h^k) \mathbf e_j(\tilde y_m \mathsf h^m) = f^{ij} \tilde x_k \tilde y_m \mathbf e_i(\mathsf h^k) \mathbf e_j(\mathsf h^m) = f^{ij} {V^k}_p \tilde x_k {V^m}_q \tilde y_m \mathbf e_i(\mathbf e^p) \mathbf e_j(\mathsf e^q) =\\&= [f^{ij} {V^k}_p {V^m}_q] \tilde x_k \tilde y_m \end{align*} $$

так что $f^{ij} {V^k}_i {V^m}_j = \tilde f^{km}$ есть координаты тензора в новом базисе.

3. Есть (1, 1)-тензор. Это такая билинейная функция, которая принимает на вход один вектор и один ковектор и даёт скаляр. Тут можно по-разному расставить аргументы:

$$ f(\mathbf x, \mathsf y) = {f^j}_i \mathsf e^i(\mathbf x) \mathbf e_j(\mathsf y), \qquad \mathbf x \in L, \mathsf y \in L^* $$

или

$$ f(\mathsf x, \mathbf y) = {f_j}^i \mathbf e_i(\mathsf x) \mathsf e^j(\mathbf y), \qquad \mathsf x \in L^*, \mathbf y \in L $$

.

Выберем первую форму. Сделаем замену базиса в векторном аргументе: $\mathbf h_i = {S^k}_i \mathbf e_k$, $\mathbf x = x^i \mathbf e_i = \tilde x^i \mathbf h_i$,

$$ f(\mathbf x, \mathsf y) = {f^j}_i \mathsf e^i(\tilde x^k \mathbf h_k) \mathbf e_j(\mathsf y) = {f^j}_i \mathsf e^i(\tilde x^k {S^r}_k \mathbf e_r) \mathbf e_j(\mathsf y) = {f^j}_i \tilde x^k {S^i}_k \mathbf e_j(\mathsf y) = \ldots $$

Однако, заменять нам нужно и векторное "действующее лицо", которое действует на ковектор $\mathsf y$, но уже по обратному закону. Поупражняемся:

$$ {S_q}^i \mathbf h_i = {S_q}^i {S^k}_i \mathbf e_k = \mathbf e_q, $$

так что идём дальше:

$$ \ldots = {f^j}_i \tilde x^k {S^i}_k \mathbf e_j(\mathsf y) = {f^j}_i \tilde x^k {S^i}_k {S_j}^r \mathbf h_r(\mathsf y) = \ldots $$

Остаётся теперь записать $\mathsf y$ по дуальному базису: $\mathsf y = \tilde y_m \mathsf h^m$, так что

$$ \ldots = {f^j}_i \tilde x^k \tilde y_m {S^i}_k {S_j}^r \mathbf h_r(\mathsf h^m) = {f^j}_i \tilde x^k \tilde y_m {S^i}_k {S_j}^r {\delta_r}^m = {S_j}^m {f^j}_i {S^i}_k \tilde x^k \tilde y_m . $$

Итак, новые координаты тензора

$$ \tilde {f^m}_k = {S_j}^m {f^j}_i {S^i}_k, $$

то есть мы получили закон преобразования матриц $\tilde F = S^{-1} F S$, где переход от базиса к базису был в виде $\mathbf h_i = S \mathbf e_i$.

Вторая форма сводится к первой перестановкой индексов у координат тензора, так что там должно быть всё то же самое (но тут уже лень считать). Во всяком случае это значит, что если тензор $f$ симметричный, то совать в него векторы можно с любой стороны.

Вроде бы выводы все правильные. С другой стороны, хотелось бы быть уверенным, что они получились правильными не случайно, а что я всё правильно понял как в концепции, так и в индексной гимнастике. Не могли бы вы меня проверить?

[Утундрий]

Вы доказывали, что трудно запутаться в тождественных преобразованиях?

[StaticZero]

Утундрий в сообщении #1498989 писал(а):

Вы доказывали, что трудно запутаться в тождественных преобразованиях?

С чего-то надо начинать

[Утундрий]

StaticZero в сообщении #1498990 писал(а):

С чего-то надо начинать

Но не с книжки 1977 года же...

[StaticZero]

Утундрий в сообщении #1498991 писал(а):

Но не с книжки 1977 года же...

А шо делать. Дифференциальные формы я когда-то проходил (от слова "мимо" из-за недостатка мотивации и понятности), а щас резко понадобились. Я полазил по форуму в поисках, эта была самая рекомендуемая.

[Утундрий]

StaticZero в сообщении #1498992 писал(а):

резко понадобились

Поде́литесь мотивацией?

[iifat]

Утундрий в сообщении #1498991 писал(а):

Но не с книжки 1977 года же...

Ээээ... С 1977 года понятие тензора так сильно изменилось?

[StaticZero]

Утундрий в сообщении #1499066 писал(а):

Поде́литесь мотивацией?

Через тексты "физика+топология" продираться. Регулярно натыкаюсь, и всё это время пропускал, пытаясь сосредоточиться на других вещах. Теперь пробел кажется критичным, и его необходимо заполнить знаниями.

[Утундрий]

iifat в сообщении #1499101 писал(а):

С 1977 года понятие тензора так сильно изменилось?

ТС интересуют не любые тензоры, а только кососимметрические. Для них вводится операция внешнего произведения, сочиняется свой птичий язык и т.п.

-- Вт янв 05, 2021 20:16:23 --

StaticZero в сообщении #1499121 писал(а):

Через тексты "физика+топология" продираться.

Понятно. А современную геометрию пробовали?

[arseniiv]

А геометрическая интуиция $p$-форм и $p$-векторов у вас как? Я тут где-то рисовал картинку с наглядным ходжением их друг в друга, хотя там немного маргинально, ориентация учтена сразу внутри аргументов/результатов, так что ориентация пространства не важна, а из нормальных объектов получаются скрученные (twisted) и наоборот. Скрученные — это в самом простом понимании тензорно умноженные на псевдоскаляр. А вот что такое псевдоскаляр, придётся оставить за кадром, потому что самое лучшее определение его я забыл и не особо понял. (С другой стороны можно просто различать внешнюю и внутреннюю ориентацию. У нормальных объектов внутренняя, у скрученных внешняя. Но это всё предмет другой темы.)

В физике от $p$-форм скорее всего нужно только их взаимодействие с $n$-векторами, их дифференцирование, интегрирование и звёздочка Ходжа. Это всё имеет для всех легко визуализируемых размерностей наглядные образы. А, ну ещё пулбэки. Ну там всё настолько же наглядно. Или я неправильно представлял и там ещё куча всего нужна.

-- Вт янв 05, 2021 21:29:53 --

Да, и внешнее произведение тоже наглядно, конечно, упустил его упомянуть.

-- Вт янв 05, 2021 21:30:20 --

Утундрий в сообщении #1499124 писал(а):

сочиняется свой птичий язык и т.п.

Ласково.

[StaticZero]

arseniiv в сообщении #1499132 писал(а):

А геометрическая интуиция $p$-форм и $p$-векторов у вас как?

Всё плохо. Единственная интерпретация, которая мне пока доступна, это алгебраическая в терминах разложений по базисам, навроде такого:

1-форма = строка
2-форма = строка, элементы которой это 1-формы
...

-- 05.01.2021 в 19:36 --

Утундрий в сообщении #1499124 писал(а):

Понятно. А современную геометрию
пробовали?

Не-а. Спасибо!

(Оффтоп)

Тот самый Фоменко?

[arseniiv]

StaticZero в сообщении #1499136 писал(а):

Всё плохо. Единственная интерпретация, которая мне пока доступна, это алгебраическая в терминах разложений по базисам, навроде такого:

1-форма = строка
2-форма = строка, элементы которой это 1-формы
...

Ага, ясно. Начнём с 1-форм. Самый простой пример 1-формы — это дифференциал какого-то скалярного поля. В каждой точке пространства мы можем применить этот дифференциал $df$ к вектору $\mathbf v$, получая производную по направлению $\partial f/\partial \mathbf v$. Такой вид 1-форм (точные формы) совершенно безвредно визуализировать гиперповерхностями уровня исходной функции $f$, взятыми через одинаковые значения (скажем, линии уровня …, −2, −1, 0, 1, 2, …). К ним можно прибавить какой-то значочек, указывающий, в каком направлении $f$ увеличивается, чтобы мы знали, где $df$ куда направлена. Чтобы составить впечатление о величине формы в какой-то точке, мы можем взять пару таких гиперповерхностей и выпрямить их, то есть вообще говоря взять пару параллельных гиперплоскостей в касательном пространстве к этой точке, и расстояние между ними и ориентация этих гиперплоскостей будет визуализировать один ковектор как стрелочка визуализирует вектор. Только чем длиннее стрелочка, тем вектор больше, а чем дальше гиперплоскости, тем ковектор наоборот меньше. К этому можно вернуться потом. И такая локальная визуализация совершенно натуральна и для 1-форм, не являющихся точными (не дифференциалов чего-либо).

Ещё более простой пример 1-формы — это координатные 1-формы $dx_i$. Это собственно дифференциалы координат, координата это ведь скалярное поле, каждой точке сопоставляющее соответствующее значение координаты. Если система координат удобная, то и линии уровня координат будут выглядеть хорошо и кординатные формы будут довольно очевидны. Это надо будет нарисовать, конечно.

И вот ещё: я тут подался в многообразия, а стоило посидеть в линейном пространстве, да?

[StaticZero]

arseniiv в сообщении #1499147 писал(а):

Самый простой пример 1-формы — это дифференциал какого-то скалярного поля. В каждой точке пространства мы можем применить этот дифференциал $df$ к вектору $\mathbf v$, получая производную по направлению $\partial f/\partial \mathbf v$.

А можно я глупые вопросы пока позадаю? Аргумент функции -- вектор, а почему градиент будет именно 1-формой, а не вектором?

[Odysseus]

StaticZero
Ефимова не читал, но рекомендую "Линейную алгебра" Гельфанда и "Линейную алгебру и геометрия" Кострикина и Манина. Еще в свое время для приложений к анализу мне были полезны соответствующие места во втором томе Зорича (гл. XII, параграф 5, и далее), а с точки зрения приложений к физике рекомендую "Уравнения Максвелла и дифференциальные формы" Болибруха.

Также у известного на этом форуме Oleg Zubelevich есть "Лекции по тензорному анализу". Возможно, тоже стоит глянуть.

[StaticZero]

arseniiv в сообщении #1499147 писал(а):

Такой вид 1-форм (точные формы) совершенно безвредно визуализировать гиперповерхностями уровня исходной функции $f$, взятыми через одинаковые значения (скажем, линии уровня …, −2, −1, 0, 1, 2, …). К ним можно прибавить какой-то значочек, указывающий, в каком направлении $f$ увеличивается, чтобы мы знали, где $df$ куда направлена.

Ну, я могу себе представить карту рельефа местности с изолиниями. Я вот знаю, что градиент (опять же, на уровне понимания "любая тройка чисел есть вектор") это такой вектор, который показывает направление наискорейшего подъёма/спуска. При движении с постоянной скоростью движение именно в этом направлении даст наибольшее изменение высоты за один и тот же промежуток времени по сравнению с другими направлениями. Пока не вижу, как эту святую простоту согласовать с новым ковекторным языком.