2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 эллиптическое уравнение (вроде потянет на курсовик)
Сообщение26.05.2008, 18:21 
Аватара пользователя
Зададим единичный шар в $\mathbb{R}^m$.
$B=\{x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m\mid x_1^2+\ldots+x_m^2\le 1\}$
Введем функцию $f\in C^\infty(\mathbb{R}).$
Доказать, что если число $m$ достаточно велико, то задача
$\Delta u=f(u),\quad u\mid_{\partial B}=0$ имеет классическое решение.

 
 
 
 
Сообщение28.05.2008, 21:02 
На курсовик в каком вузе? :)

 
 
 
 
Сообщение28.05.2008, 21:18 
Аватара пользователя
V.V., Вы считаете, что это решённая задача?
zoo, это решённая задача? :)

 
 
 
 
Сообщение28.05.2008, 21:59 
Аватара пользователя
Echo-Off писал(а):
zoo, это решённая задача?

скажем так, некоторое время назад, я опубликовал решение некоторой обобщенной версии (там область была не шар а ограниченная с гладкой границей, и правая часть была более общего вида) этой задачи в одном очень слабеньком журнале. Полноценной публикацией это не считаю т.к. факт простой. А опубликовал потому, что от нескольких квалифицированных людей перед тем слышал, что такого бысть не может. Потом, когда я показывал доказательство, то этиже люди отвечали : "тривиальщина какая"
:lol:

Добавлено спустя 9 минут 1 секунду:


V.V. писал(а):
На курсовик в каком вузе?

посуществу ченть скажем?

 
 
 
 Re: эллиптическое уравнение (вроде потянет на курсовик)
Сообщение29.05.2008, 07:47 
zoo писал(а):
Зададим единичный шар в $\mathbb{R}^m$.
$B=\{x=(x_1,\ldots,x_m)\in \mathbb{R}^m\mid x_1^2+\ldots+x_m^2\le 1\}$
Введем функцию $f\in C^\infty(\mathbb{R}).$
Доказать, что если число $m$ достаточно велико, то задача
$\Delta u=f(u),\quad u\mid_{\partial B}=0$ имеет классическое решение.

Ну, так оно заведомо имеет решение в обобщённом смысле для любой квадратично интегрируемой правой части, т.к. оператор Лапласа с условиями Дирихле самосопряжен, отрицателен и (в ограниченной области) отделён от нуля. А если правая часть непрерывна, то и решение может пониматься в классическом смысле.

Не понял, в чём задача-то.

 
 
 
 
Сообщение29.05.2008, 10:28 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Ну, так оно заведомо имеет решение в обобщённом смысле для любой квадратично интегрируемой правой части, т.к. оператор Лапласа с условиями Дирихле самосопряжен, отрицателен и (в ограниченной области) отделён от нуля. А если правая часть непрерывна, то и решение может пониматься в классическом смысле.

Не понял, в чём задача-то.

Товарисч, задача нелинейная, правая часть зависит от искомой функции. :wink:

 
 
 
 
Сообщение29.05.2008, 22:00 
а-а, извиняюсь

 
 
 
 
Сообщение10.07.2008, 18:46 
zoo
В этой задаче Вы воспользовались тем, что с увеличением размерности первое собственное число оператора Лапласа для задачи Дирихле растёт. Поэтому норма обратного оператора уменьшается. Далее, суперпозиция обратного оператора и нелинейного \[
f(u)
\] можно сделать оператором сжатия.

 
 
 
 
Сообщение11.07.2008, 09:41 
Аватара пользователя
Bard писал(а):
zoo
В этой задаче Вы воспользовались тем, что с увеличением размерности первое собственное число оператора Лапласа для задачи Дирихле растёт. Поэтому норма обратного оператора уменьшается. Далее, суперпозиция обратного оператора и нелинейного \[
f(u)
\] можно сделать оператором сжатия.

если первое собственное число растет, то наверное так тоже можно, я делал с помощью принципа сравнения и теоремы Шаудера

 
 
 
 
Сообщение11.07.2008, 10:20 
Понял. Спасибо.
В случае шара я не проверял факта роста первого с.ч. оператора Лапласа с условиями Дирихле. Но, если взять куб, то первая собственная функция это произведение синусов всех переменных.
Поэтому, чем больше переменных, тем больше с.ч.
Для курсовика это очень хорошая тема.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group