2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение07.12.2020, 10:58 


03/03/12
1380
Существуют ли параметры $(y;q)\in N^+$, при которых уравнения Пелля
1). $z^2-(y^2+1)x^2=y^2-(200q+6)>0$
2).$z^2-(y^2+4)x^2=y^2-(200q+14)>0$
имеют решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение07.12.2020, 12:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
TR63 в сообщении #1495570 писал(а):
1). $z^2-(y^2+1)x^2=y^2-(200q+6)>0$

По-другому: $z^2+200q+7=(x^2+1)(y^2+1)$

Слева по $\mod 8$ возможные варианты: $0,3,7.$ Cправа: $1,2,4,5.$ Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение07.12.2020, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
TR63 в сообщении #1495570 писал(а):
2).$z^2-(y^2+4)x^2=y^2-(200q+14)>0$

$x=15,y=217,z=3260,q=77.$

Непонятно только почему Вы считаете это Пеллем. Повезло парню. Хотя, растиражировать это с помощью Пелля — да можно. https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+in+integers+z%5E2-47093*x%5E2%3D31675

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение07.12.2020, 19:38 


03/03/12
1380
Andrey A, спасибо.

Andrey A в сообщении #1495575 писал(а):
По-другому: $z^2+200q+7=(x^2+1)(y^2+1)$


Красивый ход.
У меня решение длиннее. Я проверяла в лоб, какой может быть последняя цифра у параметра $(y)$. Получилось, что решений нет.
Для второго уравнения этот метод не подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение07.12.2020, 20:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Ага. Не заметил что мы в олимпиадном разделе. Последняя цифра это по $\mod 10.$ Во втором уравнении такой же красивый ход: $z^2+200q+18=(x^2+1)(y^2+4)$. То есть $(x^2+1)(y^2+4)-18$ квадратичный вычет по $\mod 200$. Подошел бы любой квадрат, если бы не несколько искусственное условие $>0.$ Пеллем называть это не стал бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение08.12.2020, 11:21 


03/03/12
1380
Andrey A в сообщении #1495611 писал(а):
Непонятно только почему Вы считаете это Пеллем.

TR63 в сообщении #1495570 писал(а):
Существуют ли параметры $(y;q)\in N^+$, при которых уравнения Пелля
1). $z^2-(y^2+1)x^2=y^2-(200q+6)>0$
2).$z^2-(y^2+4)x^2=y^2-(200q+14)>0$
имеют решение.


При фиксированных параметрах будем иметь обобщённые уравнения Пелля. (Пропустила слово обобщённые? Учту.)
Andrey A в сообщении #1495633 писал(а):
несколько искусственное условие $>0.$


Согласна. Но пока пусть будет.

Хотелось бы подробнее рассмотреть второе уравнение относительно существования решения в зависимости от последней цифры у параметра $(y)$.
TR63 в сообщении #1495570 писал(а):
2).$z^2-(y^2+4)x^2=y^2-(200q+14)>0$

У меня получилось, что, если решение существует, то $(x;y)$ должны быть нечётными. Тогда рассмотрим, каким должно быть $(z)$, чтобы решение существовало. Получим:
1). $y=10k+1$, $(z)$ не существует
2). $y=10k+3$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_?;2_-;8_-)$
3). $y=10k+5$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_-;2_-;6_?)$
4). $y=10k+7$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_+;2_-;8_-)$
5). $y=10k+9$, $(z)$ не существует

Остались не рассмотренными два случая (если я не ошиблась в остальных):
2). $y=10k+3$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_?;2_-;8_-)$
3). $y=10k+5$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_-;2_-;6_?)$

Т.е. надо выяснить, существует ли решение, если параметр $(y)$ оканчивается на цифры $(3;5)$. При существовании решение найдётся перебором. А если не существует? В любом случае будет интересно посмотреть, как на самом деле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение08.12.2020, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
TR63 в сообщении #1495704 писал(а):
... если решение существует, то $(x;y)$ должны быть нечётными.

Это верно. А $z$ должно быть кратно четырем. Других ограничений не вижу кроме одного: $(x^2+1)(y^2+4)-18$ квадратичный вычет по $\mod 200$. Если оно выполняется, то оснований квадратов по $\mod 200$ находится не меньше четырех (в качестве $z$), и ко всем можно прибавлять $\pm 200k$. Последнее относится и к параметрам $x,y.$ Остается подобрать их так, чтобы выполнялось условие $>0$, или выписать неравенство.
Далась Вам эта последняя цифра ))

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение08.12.2020, 13:06 


03/03/12
1380
Andrey A в сообщении #1495714 писал(а):
$z$ должно быть кратно четырем

Это знаю.
Andrey A в сообщении #1495714 писал(а):
Далась Вам эта последняя цифра

Проверяю некоторую гипотезу. Поэтому надо именно в формулировке:
TR63 в сообщении #1495704 писал(а):
существует ли решение, если параметр $(y)$ оканчивается на цифры $(3;5)$
. Сами по себе уравнения меня мало интересуют. Так что, если решения указанного вида существуют, то хотелось бы увидеть их конкретно. Пожалуйста, помогите их найти именно в этих двух случаях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение08.12.2020, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
$x=5,y=83,z=420,q=14.$

$x=21,y=215,z=4520,q=14.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Два уравнения Пелля с параметрами.
Сообщение08.12.2020, 18:46 


03/03/12
1380
Andrey A, большое спасибо.
Теперь, глядя на Ваши примеры, вижу у себя ошибку (нашла, где именно: невнимательность). Должно быть:
TR63 в сообщении #1495704 писал(а):
3). $y=10k+5$, возможные последние цифры $(z^2)=(0_+;2_-;6_?)$

Но, в принципе, материала уже достаточно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group