2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение13.11.2020, 18:12 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Рассматривается уравнение $\dfrac{x-y}{z}+\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}=N$.
Докажите, что оно имеет решения в натуральных $x,y,z$ при любых целых $N\ne\pm{1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение16.11.2020, 05:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Можно так: $x=ab(b^2+ac),\ y=bc(a^2+bc),\ z=ac(ab-c^2)$, где тройка $a,b,c$ удовлетворяет уравнению $a^3+abc-\dfrac{b^3+c^3}{N}=0.$ Последнее разрешимо всегда, взять хотя бы $b=\dfrac{a(N+1)}{2},\ c=\dfrac{a(N-1)}{2},$ но чтобы получить положительные $x,y,z$, нужны другие решения. Они вроде бы и есть, но доказать их существование для общего случая не берусь. Жесткая задачка.

PS
Можно выделить частное решение $N=b^2-b+1\ (a=c=1).$ Соответственно $x=b^3+b,\ y=b^2+b,\ z=b-1$ (для нечетных $b$ всё пополам).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение16.11.2020, 15:14 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Замечу, что и для чуть измененного уравнения $\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}=N$
с любым целым $N\ne{-2}$ тоже всегда найдутся решения в натуральных $x,y,z$.
Что касается приведенных выше рассуждений, то они верные и, наверное, можно сконструировать нужные решения на этом пути.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение16.11.2020, 19:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1492669 писал(а):
... верные и, наверное, можно сконструировать нужные решения на этом пути.
Дело в том, что для простого $N$ предложенное решение является общим, поэтому предположение о существовании других решений кубического уравнения равносильно вопросу задачи. Не хочется что-то ее бросать на полпути, задело. Уравнение $a^3+abc-\dfrac{b^3+c^3}{N}=0$ (пусть будет $2$) приведенное, причем относительно любой переменной. То что оно в целых числах – не имеет значения, поскольку из тройки рациональных решений $x,y,z$ получаем целое решение домножением на общий знаменатель. Все выкладки по требованию. Точка $a=b=c=0$ удовлетворяет $(2)$ при любом $N$ (хотя и порождает нулевую тройку $x,y,z$, тут надо осторожно), есть еще решение $a,\ b=\dfrac{a(N+1)}{2},\ c=\dfrac{a(N-1)}{2}$ верное для любых $a,N.$ Как эта ситуация выглядит с точки зрения теории эллиптических кривых? Очень интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение16.11.2020, 20:47 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Если считать $a$ за параметр, то $(2)$ - уравнение эллиптической кривой.
Оно имеет бесконечное число рациональных решений при каждом целом $N\ne\pm{1}$
(это факт нетривиальный).
Приведу ещё одно его решение
$b=-\dfrac{a(N^4+2N^3+8N^2-10N-1)}{4(3N^2+1)}$

$c= \dfrac{a(N^4-2N^3+8N^2+10N-1)}{4(3N^2+1)}$
Это всё, конечно, интересно, но решения исходной задачи пока нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение16.11.2020, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1492711 писал(а):
... бесконечное число рациональных решений при каждом целом $N\ne\pm{1}$
Из Вашего примера положительных троек $x,y,z$ не получить. Из остальных тоже? Интересно.
Я думал, Вольфрам выдает только маленькие решения, остальные ему влом. Не без этого, конечно, но теперь ни в чем не уверен. Выпишу все известные для $10<N<50.$

$\begin{matrix}
N & a & b & c & x & y & z\\ 
 &  &  &  &  &  & \\ 
13 & 1 & 4 & 1 & 68 & 20 & 3\\ 
19 & 1 & 4 & -9 & 4 & 180 & 99\\ 
21 & 1 & 5 & 1 & 65 & 15 & 2\\ 
24 & 7 & 58 & 20 & 59276 & 58435 & 35\\ 
26 & 7 & 37 & -85 & 259 & 12580 & 5355\\ 
29 & 19 & 101 & 15 & 1437331 & 203010 & 34485\\
31 & 1 & 6 & 1 & 222 & 42 & 5\\
37 & 7 & 27 & 1 & 34776 & 513 & 329\\
39 & 3 & 57 & -93 & 1045 & 57722 & 4867\\
43 & 1 & 7 & 1 & 175 & 28 & 3\\
48 & 1 & 10 & 2 & 85 & 35 & 1\\
49 & 4 & 19 & 1 & 5548 & 133 & 60 
\end{matrix}$

Может, кому-то удастся заполнить пробелы, например для $13<N<19.$ Вся надежда на компьютерный перебор.

Исправлено 17.11.2020

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение17.11.2020, 00:27 


02/04/18
240
Такое вот не то чтобы решение - но последовательная замена одной задачи на другую.

Для начала упомяну очевидное свойство любого решения - его круговая перестановка тоже решение, а перестановка в обратном порядке - решение для $-N$. Это позволяет рассматривать только положительные $N$ ($x=y=z$ решает уравнения для $N=0$, что неинтересно). Так же очевидно, что если домножить три числа на любой коэффициент, то это тоже решение - то есть если мы найдем рациональное решение, то, домножив его на НОК знаменателей, получим целое решение, будем иметь в виду это.

Если обозначить $\alpha=\frac{x}{z}, \beta=\frac{y}{x}, \gamma=\frac{z}{y}$, то получим следующее:
$(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=1-(\alpha+\beta+\gamma)+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)-\alpha\beta\gamma=$
$=1-\frac{x}{z}-\frac{y}{x}-\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{x}-1=-N$
Из этого равенства следует, что $\alpha+\beta+\gamma=N+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)$
Если решение существует, то существуют три рациональных числа (более того, положительных), удовлетворяющих этому равенству. Поскольку они положительны, то их сумма больше $N$, а по построению видно, что хотя бы одно из них должно быть больше единицы.

Эти числа - корни уравнения $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$. Раскрыв скобки, получим:
$x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)x-1=0$
Введя обозначение $s=\alpha+\beta+\gamma$ (оно тоже рационально и положительно), получаем уравнение

$x^3-sx^2+(N+s)x-1=0$ или $\frac{N}{x-1}=1-s+x+\frac{1}{x}$
Таким образом, вопрос задачи эквивалентен следующему утверждению: $\forall N\neq\pm1 : \exists s\in\mathbb{Q}, s>1$ такое, что это уравнение имеет три рациональных корня ${\alpha, \beta, \gamma}$, тогда исходное уравнение имеет решение, пропорциональное набору ${\alpha, \alpha\beta, 1}$.

Рассматривая функцию $f(x)=x^3-sx^2+(N+s)x-1$, можно обнаружить, что один из корней находится на интервале $(0,s^{-1})$, хотя о рациональности это еще ничего не говорит. Надо заметить, что если при некотором $s$ рациональный корень существует, он является несократимой дробью, числитель и знаменатель которой - делители знаменателя $s$. То есть, чтобы корнем было число $u/v$, требуется, чтобы $s=\frac{p}{uvw}. Подставляя это в уравнение, получаем выражение:
$w(u^3-v^3+Nuv^2)=p(u-v)$.

Выберем $w=u-v$, тогда $p=u^3-v^3+Nuv^2$.
Таким образом, существует $s$, для которого один из корней - рационален. Но при этом два других корня не обязательно рациональны, они могут содержать радикалы, и требуется подобрать подходящие $u, v$. Поделив кубическое уравнение на $(x-u/v)$ и получим уравнение:
$x^2+x\frac{v^2-u^2-Nuv}{u(u-v)}+\frac{v}{u}=0$.
Мы можем домножить его на $u(u-v)$ и получить уравнение с целыми коэффициентами. Его дискриминант равен $D=((u-v)^2-Nvu)^2+4Nu^2v(u-v)$.

Теперь задача свелась к доказательству существования таких взаимно простых натуральных $u, v$ при данном $N$, что эта величина является полным квадратом: $D=M^2$. Это случится, если существуют два целых числа, чья разность равна $Nuv-(u-v)^2$, а произведение - $Nu^2v(u-v)$.

Чтобы пояснить, что это работатет:
Например, для $N=46$ можно взять $u=10, v=3$, тогда получаем, соответственно, $1331=1400-69, 96600=1400\cdot69$, квадратное уравнение становится $x^2-1471x/70+3/10=0$ - его решения $1/70$ и $21$, так что для решения исходного уравнения получаем, например, тройку $10/3, 70, 1$ - или в натуральных числах $10, 210, 3$. Заметьте, что так же подойдет тройка $10/3, 1/21, 1$, то есть $70, 1, 21$.

То есть, следующий этап - доказать, что для данного $N>1$ существует пара натуральных чисел $u, v$ такая, что величина $Nu^2v(u-v)$ раскладывается на два множителя с разностью $Nuv-(u-v)^2$. Но дальше пока двигаться не выходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение17.11.2020, 00:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Dendr в сообщении #1492740 писал(а):
$\alpha+\beta+\gamma=N+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)$


Dendr в сообщении #1492740 писал(а):
$x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma)x-1=0$


При $s = \alpha + \beta + \gamma$ имеем $s = N + (\alpha \beta + \ldots)$, и получается
$$
x^3 - s x^2 + (s - N) x - 1 = 0.
$$
У вас иначе:
Dendr в сообщении #1492740 писал(а):
$x^3-sx^2+(N+s)x-1=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение17.11.2020, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1492711 писал(а):
$b=-\dfrac{a(N^4+2N^3+8N^2-10N-1)}{4(3N^2+1)}$

$c= \dfrac{a(N^4-2N^3+8N^2+10N-1)}{4(3N^2+1)}$
Andrey A в сообщении #1492731 писал(а):
Из Вашего примера положительных троек $x,y,z$ не получить.


На самом деле это неправда. Каюсь. Посмотрим при каких условиях параметры $x=ab(b^2+ac),\ y=bc(a^2+bc),\ z=ac(ab-c^2)$ оказываются положительными числами. Прежде всего заметим, что переменные $b \leftrightarrow c$ симметричны (достаточно взглянуть на само уравнение $2$). Если $a,b,c>0$, должно выполняться $ab>c^2$, тут просто, но случается не всегда. Есть еще вариант с одной отрицательной переменной, скажем $c<0.$ Тогда должно быть $b^2>\left | ac \right |$ и $a^2<\left | bc \right |$, т.е. $\left | c \right | \in \left ( \dfrac{a^2}{b},\dfrac{b^2}{a} \right ).$

scwec, теперь дело за Вами (или еще кто захочет) показать, что из бесконечного числа решений некоторые удовлетворяют данным условиям, а я займусь примером.

Для $N=14$ Вольфрам не видит положительных решений, вот и назначим $a=4 \cdot \left ( 3 \cdot 14^2+1 \right )=2356,$ $b=14^4-2 \cdot 14^3+8 \cdot 14^2+10 \cdot 14-1=34635,$ $c=-\left ( 14^4+2 \cdot 14^3+8 \cdot 14^2-10 \cdot 14-1 \right )=-45331.$ Видим, что $\dfrac{2356^2}{34635}<45331<\dfrac{34635^2}{2356}$ выполняется с запасом. Подставляя в формулы, получаем $x = 89171190109403340,\ y = 2456308169409874065,\ z = 210748063085681836.$

Остается поделить всё на $\gcd = 7861751$: $$x=11342408340,\ y=312437797815,\ z=26806758836$$ и проверить. Мне это уравнение больше нравится в такой форме: $\dfrac{(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}=$$$\dfrac{(11342408340-312437797815)(11342408340-26806758836)(312437797815-26806758836)}{11342408340 \cdot 312437797815 \cdot 26806758836}=14.$$
Andrey A в сообщении #1492731 писал(а):
... Вся надежда на компьютерный перебор.
Спасибо, это отменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение17.11.2020, 12:37 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Чуть изменим подход. Выберем $b$ в качестве параметре в уравнении $(2)$
Рациональное решение для $(2)$ аналогичное приведенному выше

$a=\dfrac{4b(3N^2+1)}{N^4-2N^3+8N^2+10N-1}$

$c=-\dfrac{b(N^4+2N^3+8N^2-10N-1)}{N^4-2N^3+8N^2+10N-1}$

Теперь $x,y,z$ (уже приведенные к общему знаменателю) положительны для положительных целых $N>4$.
$x=4(3N^2+1)(N^2-5)(N^2-4N-1)(N^4+14N^2+1)(N+1)(N^3-3N^2+11N-1)$
$y=(N^2-1)(N^3+3N^2+11N+1)(N^2-5)(N^2+3)(N^4+14N^2+1)(N^3-3N^2+11N-1)$
$z=4(3N^2+1)(N-1)(N^3+3N^2+11N+1)(N^2-5)(N^2+4N-1)(N^4+14N^2+1)$
А для $N=2,3,4$ необходимые решения, например, такие
$N=2, x=21, y=10, z=66$
$N=3,x=6, y=1, z=10$
$N=4, x=285, y=6,z=310$
Для отрицательных $N$ как уже было отмечено выше , достаточно поменять местами $x$ и $y$.
Т.о. решение исходной задачи общими усилиями здесь получено.
Моё решение, которое имелось в виду, отличается от изложенного здесь.
Оно так же устроено, как для уравнения, в котором в первом слагаемом в левой части минус заменён на плюс.
$\frac{x+y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}=N$ ($N\ne{-2}$)
Предлагаю найти его решения в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение17.11.2020, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1492785 писал(а):
$\frac{x+y}{z}+\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}=N$ ($N\ne{-2}$)
Предлагаю найти его решения в натуральных числах.
Тут я самоустраняюсь. Пусть Dendr зажигает, у него греческие буквы.
Можно всё сократить на $(N^2-5)(N^4+14N^2+1)$, тогда имеем
$x=4(3N^2+1)(N^2-4N-1)(N+1)(N^3-3N^2+11N-1),$
$y=(N^2-1)(N^3+3N^2+11N+1)(N^2+3)(N^3-3N^2+11N-1),$
$z=4(3N^2+1)(N-1)(N^3+3N^2+11N+1)(N^2+4N-1).$
Задача очень понравилась. Произведение попарных расстояний между тремя точками числовой оси делённое на произведение их координат — я вообще не думал, что это может быть целым числом, а оно еще и любое :shock: Можно бы попробовать обобщить на составное $N$. Но решение не будет полным всё равно, поскольку уже имеем бесконечное количество способов. Улет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение19.11.2020, 17:09 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
Общее замечание Поскольку левые части рассматриваемых в теме уравнений - однородные функции степени ноль, то без ограничения общности можно положить $z=1$ и искать рациональные решения.
Теперь приведу ещё тройку примеров.
1.Уравнение $\frac{x+y}{x-y}+\frac{y+z}{y-z}+\frac{z+x}{z-x}=N$
при любом целом $N\ne\pm{1}$ имеет решения в натуральных $x,y,z$
2.Уравнение $\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}=N$
при любом целом $N\ne\pm{1}$ имеет решения в целых $x,y,z$, (но не имеет решений в натуральных $x,y,z$)
3, Для уравнения $\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=N$ последовательность положительных целых $N$, для которых имеются целые и натуральные решения,
определяется (кроме $N=6$) ненулевым рангом эллиптической кривой с уравнением
$w^2=u^3+(N^2-12)u^2+16(N+3)u$
$N=6,8,11,12,15,23,26,27,28,31,32,34,35,39,...$.
При $N=6$ имеем рациональную кривую, которая полностью параметризуется и можно найти общее решение уравнения.
Решения для некоторых $N$
$N=8, x=2, y=3, z=6$
$N=23, x=3, y=7, z=42$
$N=39, x = 6450, y = 561, z = 13889$
Общая формула в данном случае неизвестна, хотя найти решение для конкретных $N$ в пределах вычислительных мощностей, как правило, не представляет труда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение19.11.2020, 20:31 


26/08/11
2057
Можно включить в списке и класику

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение21.11.2020, 04:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
Еще такое возможно $\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}=N.$ В рациональных числах тут имеем общее $3$х-параметрическое решение $$x=\dfrac{aN(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+abc)},y=\dfrac{bN(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+abc)},z=\dfrac{cN(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)(a^3+b^3+c^3+abc)}$$ Поэтому в целых дело сводится к вопросу сократимости данных дробей. А вот с кубами такое уравнение позаковырестей будет. Слегка напоминает задачу https://dxdy.ru/post1202640.html#p1202640.

Upd
Andrey A в сообщении #1493533 писал(а):
... общее $3$х-параметрическое решение

$2$х-параметрическое, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение (x-y)/z+(y-z)/x+(z-x)/y=N
Сообщение25.11.2020, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
scwec в сообщении #1493285 писал(а):
3. Для уравнения $\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=N$ последовательность положительных целых $N$, для которых имеются целые и натуральные решения,
определяется (кроме $N=6$) ненулевым рангом эллиптической кривой с уравнением
$w^2=u^3+(N^2-12)u^2+16(N+3)u$
$N=6,8,11,12,15,23,26,27,28,31,32,34,35,39,...$.

А $N=7?\ \ \ \ \dfrac{2+2}{1}+\dfrac{2+1}{2}+\dfrac{1+2}{2}=7.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group