2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Дирихле для комплексного УЧП
Сообщение11.08.2020, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4610
Здравствуйте.

Есть задача Дирихле (например, в прямоугольнике; пусть однородная) для уравнения
$$
{\rm{div}}(p(x)\nabla u(x))-\lambda u(x)=f(x),
$$
где $p(x)>0$ - достаточно гладкая функция, $\lambda\in\mathbb{C}$, ${\rm{Re}}\lambda>0$.
Фактически, это вычисление резольвенты для самосопряжённого оператора - там, где она существует.

Какие численные методы можно применять для решения таких задач? Где о них можно почитать (с какими-нибудь оценками погрешности)?
Годится ли здесь метод сеток (возникли в этом сомнения)?

В книгах по численным методам в основном рассматривается случай уравнений с вещественными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для комплексного УЧП
Сообщение12.08.2020, 07:40 
Заблокирован


16/04/18

1129
Нужно уточнение задачи. Сами функции действительные или тоже комплексные, и какие из оставшихся двух? Дивергенция от комплексной функции - это что? Оператора пока нет, есть дифференциальное выражение - нужны дополнительные краевые условия; если прямоугольник - то значения заданные на границе действительные или комплексные? Самосопряжённость - где, в каких пространствах? Если в комплексных - будет ли она?
В частном одномерном случае при комплексном лямбда - получается что?
Численно стандартный подход - расписать комплексные числа и функции через действительные, свести к системе двух уравнений с действительными коэффициентами для действительных решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для комплексного УЧП
Сообщение12.08.2020, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4610
novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):
Сами функции действительные или тоже комплексные
Аргументы $x=(x_1,x_2)$ вещественные. Функция $p(x)$ вещественная (сказано, что она принимает положительные значения); функция $f(x)$ - пусть тоже вещественная. Неизвестная функция $u(x)$ - очевидно, может принимать комплексные значения.
novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):
Дивергенция от комплексной функции - это что?
Всё понимается в самом обычном смысле:
$$
\frac{\partial}{\partial x_1}\left(p(x)\frac{\partial u(x)}{\partial x_1}\right)+\frac{\partial}{\partial x_2}\left(p(x)\frac{\partial u(x)}{\partial x_2}\right)-\lambda u(x)=f(x)
$$
novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):
если прямоугольник - то значения заданные на границе действительные или комплексные?
Нулевые (однородная задача Дирихле).
novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):
Оператора пока нет, есть дифференциальное выражение
Специально не стал конкретизировать пространства, интересуют численные методы решения такой задачи в любой разумной постановке, с оценками погрешности.

novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):
Численно стандартный подход - расписать комплексные числа и функции через действительные, свести к системе двух уравнений с действительными коэффициентами для действительных решений.
Спасибо!
Получается такая вещественная система относительно вещественных функций $v,w$ в прямоугольнике $\Omega$:
$$
\begin{Bmatrix}Av+\eta w=f\\Aw=\eta v\\v|_{\partial\Omega}=0,\,w|_{\partial\Omega}=0\end{Bmatrix}
$$
- или, если угодно, задача для уравнения четвёртого порядка
$$
A^2w+\eta^2 w=\eta f,\,w|_{\partial\Omega}=0,\,Aw|_{\partial\Omega}=0,
$$
где
$$
(Au)(x)={\rm{div}}(p(x)\nabla u(x))-\xi u(x),\quad \xi>0,\,\eta\neq 0.
$$

Не подскажете книги, где излагаются численные методы решения таких систем (систем эллиптических УЧП) или таких уравнений (четвёртого порядка), с оценками погрешности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для комплексного УЧП
Сообщение13.08.2020, 16:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
Повышать порядок обычно не выгодно. Лучше перейти к двухкомпонентной искомой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для комплексного УЧП
Сообщение18.08.2020, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4610
Я попробовал применить метод сеток к исходной задаче для комплексного УЧП напрямую.
А потом применил метод сеток к задаче для системы из двух вещественных УЧП, к которой исходная задача сводится.
Получились близкие результаты.
Так что, видимо, метод сеток применим и к задачам для комплексных УЧП, и к задачам для систем вещественных УЧП рассматриваемого вида.
Сложно поверить, что этим вопросом никто не занимался. Вроде бы, задачи вполне обычного вида. Но мне по-прежнему не удаётся найти литературу, в которой обосновывался бы метод сеток с оценками погрешности и для того, и для другого. Самому, что ли, эти оценки попробовать получить.
Обращаю внимание, что в рассматриваемых УЧП есть член как в уравнении Гельмгольца, вещественный или комплексный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Дирихле для комплексного УЧП
Сообщение18.08.2020, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11537
Mikhail_K в сообщении #1479746 писал(а):
видимо, метод сеток применим и к задачам для комплексных УЧП, и к задачам для систем вещественных УЧП рассматриваемого вида.
Удивительного в этом мало, так как алгебра по сути та же самая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group