2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 12  След.
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 10:52 


23/02/12
3112
nnosipov в сообщении #1478477 писал(а):
После знака равенства написано множество, которое от $m$ не зависит.
Давайте зафиксируем $n$, например $n=10$, и рассмотрим выражение в фигурных скобках $\{m: m \leq 10, |f(m)-A_{10}| \leq \sigma_{10} b(10)\}.$ Начнем с арифметической функции. Значения арифметической функции $f(m)$ при $m=1,...,10$ зависят от $m$, если конечно она не является постоянной. Неравенство $|f(m)-A_{10}| \leq \sigma_{10} b(10)$, в общем случае, при некоторых значениях $m=1,...,10$ может выполняться, а при некоторых может не выполняться, т.е. также зависит от $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Обратимся к энциклопедии "Вероятность и математическая статистика" (1999), статья "Вероятностная теория чисел", там употребляются обозначения, например,
$$P_n(|h(m)-C_n|>D_n)=o(1).$$
То есть официально подразумевается, что $m$, стоящее под знаком $P_n$ - это число, пробегающее все значения $m\le n$ при вычислении $P_n$, и неравенство $m\le n$ там не пишется. Таким образом, из фигурной скобки в формулировке $A(m,n)$ можно убрать и $m: m\le n$, оставив только содержательное неравенство. А под знаком решетки все правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 11:40 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vicvolf в сообщении #1478537 писал(а):
$\{m: m \leq 10, |f(m)-A_{10}| \leq \sigma_{10} b(10)\}.$
Какой смысл в этой записи имеют фигурные скобки? Зависит ли от $m$ множество $\{m: m^2 \leqslant n\}$?

Похоже, ТС не различает множество и предикат, с помощью которого это множество строится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Ну, не различает, это не самое страшное. Я тоже проглядела. Правильно будет
$$A(m,n)=\{|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$ Дальше подразумевается, что $P_n$ подставляет в $A(m,n)$ все $m\le n$, вычисляя долю верных утверждений:
vicvolf в сообщении #1478419 писал(а):
$$P_n(A(m,n))= \frac {\#\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}} {n} \to 1, n \to \infty.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:10 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alisa-lebovski в сообщении #1478541 писал(а):
Ну, не различает, это не самое страшное.
Не согласен. Для ТС это просто катастрофично. Мы уже не раз наблюдали подобную неряшливость, и ничего хорошего из этого не получалось.
alisa-lebovski в сообщении #1478541 писал(а):
Правильно будет
$$A(m,n)=\{|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$
Что за объект находится справа от знака равенства? Фигурные скобки что означают?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
nnosipov в сообщении #1478542 писал(а):
Не согласен. Для ТС это просто катастрофично. Мы уже не раз наблюдали подобную неряшливость, и ничего хорошего из этого не получалось.
Проблемы с непониманием разницы между случайной величиной и случайным процессом, на мой взгляд, гораздо хуже. Но вроде я объяснила.
nnosipov в сообщении #1478542 писал(а):
Что за объект находится справа от знака равенства? Фигурные скобки что означают?
Утверждение о числах $m,n$, которое истинно или ложно. Теперь то что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:19 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alisa-lebovski в сообщении #1478544 писал(а):
Теперь то что не так?
Возникает путаница с множеством: фигурные скобки можно трактовать как обозначение множества.

-- Ср авг 12, 2020 16:23:07 --

alisa-lebovski в сообщении #1478544 писал(а):
Проблемы с непониманием разницы между случайной величиной и случайным процессом, на мой взгляд, гораздо хуже.
Разумеется. Но, мне кажется, до этой проблемы ТС должен еще дорасти.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
nnosipov в сообщении #1478546 писал(а):
Возникает путаница с множеством: фигурные скобки можно трактовать как обозначение множества.

Но ошибки в этом нет. В теории вероятностей утверждения часто изображаются фигурными скобками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
nnosipov в сообщении #1478460 писал(а):
vicvolf в сообщении #1478419 писал(а):
$$A(m,n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$
Странная формула: выражение слева от знака равенства зависит от $m$, а выражение справа --- нет.

Да, странная. $$A(n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$ было бы все же логичнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:32 


23/02/12
3112
nnosipov в сообщении #1478546 писал(а):
alisa-lebovski в сообщении #1478544 писал(а):
Теперь то что не так?
Возникает путаница с множеством: фигурные скобки можно трактовать как обозначение множества.
Давайте в выражении для $A(m,n)$ вообще уберем скобки и будет, как в статье: $$A(m,n)=|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n).$$ и $$P_n(A(m,n))=P_n(|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Otta в сообщении #1478550 писал(а):
Да, странная. $$A(n)=\{m: m \leq n, |f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)\}.$$ было бы все же логичнее.
Но не то, что нужно. Это было бы утверждение, что неравенство выполняется для всех $m$, а нам надо определить, для каких выполняется, а для каких нет.

-- Ср авг 12, 2020 12:38:01 --

vicvolf в сообщении #1478551 писал(а):
Давайте в выражении для $A(m,n)$ вообще уберем скобки $$A(m,n)=|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n).$$
Нет, так еще хуже. Иногда еще пишут для утверждений вместо фигурных скобок кавычки, но это когда речь идет о словесных утверждениях, а среди математических обозначений будет странно. Я считаю, можно оставить фигурные скобки. Не знаю, что еще можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:38 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Почему? Это "множество всех чисел, не превосходящих $n$, для которого выполнено неравенство. Нам именно количество этих чисел нужно. С самими числами мы, кажется, не работаем, нам важно их количество.
Если где-то потом работаем, то такой записи недостаточно, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Otta в сообщении #1478554 писал(а):
Почему? Это "множество всех чисел, не превосходящих $n$, для которого выполнено неравенство. Нам именно количество этих чисел нужно. С самими числами мы, кажется, не работаем, нам важно их количество.
Если где-то потом работаем, то такой записи недостаточно, да.

Я бы предложила придерживаться официально используемых в этой науке обозначений (см. выше ссылку на энциклопедию), согласно которым в $P_n(.)$ подставляется утверждение о числах $m\le n$ - и это утверждение я ранее обозначила $A(m,n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alisa-lebovski в сообщении #1478552 писал(а):
Это было бы утверждение, что неравенство выполняется для всех $m$, а нам надо определить, для каких выполняется, а для каких нет.
Да ничего подобного, это запись и воспринимается как "множество тех и только тех $m$, для которых выполнены неравенства, указанные после двоеточия". Это совершенно стандартная трактовка (школьников так учат).
alisa-lebovski в сообщении #1478552 писал(а):
Иногда еще пишут для утверждений вместо фигурных скобок кавычки
И очень правильно делают.
alisa-lebovski в сообщении #1478552 писал(а):
Не знаю, что еще можно сделать.
По возможности избегать путаницы и двойного толкования обозначений. Словами писать, наконец: пусть $A(m,n)$ --- это свойство "$m \leqslant n$ и что там еще нужно".

 Профиль  
                  
 
 Re: Связь между асимптотикой ариф. функции и ее вер. харак-ми
Сообщение12.08.2020, 12:52 


23/02/12
3112
alisa-lebovski в сообщении #1478539 писал(а):
Обратимся к энциклопедии "Вероятность и математическая статистика" (1999), статья "Вероятностная теория чисел", там употребляются обозначения, например,
$$P_n(|h(m)-C_n|>D_n)=o(1).$$

vicvolf в сообщении #1478551 писал(а):
Давайте в выражении для $A(m,n)$ вообще уберем скобки и будет, как в статье: $$A(m,n)=|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n).$$ и $$P_n(A(m,n))=P_n(|f(m)-A_n| \leq \sigma_n b(n)).$$

Что не устраивает?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 169 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 12  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group