2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 02:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Я хочу разобраться с тем, откуда берутся в задаче Лагранжа множители, как функции времени, и жёстко туплю.

Вот пусть есть функционал
$$
S = \int \mathrm dt \ L(t, \mathbf q, \dot {\mathbf q})
$$
со связью $f(t, \mathbf q) = 0$ от $n$ переменных $q_i(t)$. Я могу получить систему уравнений:
$$
\begin{cases}
0 &= \dfrac{\partial L}{\partial q_i} - \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \lambda \dfrac{\partial f}{\partial q_i}, \qquad i = 1, \ldots, n,\\
0 &= f(t, \mathbf q).
\end{cases}
$$
Я могу оторвать от первых $n$ уравнений одно, через которое определю $\lambda(t, \mathbf q, \dot{\mathbf q}, \ddot{\mathbf q})$ как функцию всего остального и затем загружу во все остальные уравнения.

С другой стороны, я могу сначала решать $n$ первых уравнений как систему ДУ, где $\lambda$ будет функцией... собственно, чего? Времени, наверное, да, а очевидно ли, что $\lambda$ не может зависеть ни от чего больше, кроме как от времени?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 03:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Самое интуитивно простое: расписать $f(t,\mathbf{q}(t))=0$ как бесконечную, и даже континуальную, систему
$$
\Psi_s(\mathbf{q}) = \int_{t_0}^{t_1} \delta (t-s) f(t,\mathbf{q}(t))\,dt =0
$$
и по аналогии с системой $\Psi_n(\mathbf{q})=0, \ \ n=1,\ldots, N$, влекущей $\Phi^* =\Phi +\sum_{1\le n\le N} \lambda_n \Psi_n$ записать
$$
\Phi^* = \Phi +\int_{t_0}^{t _1} \lambda_(s) \Phi_s \, ds.
$$
Аналогично можно и с вариационными задачами для функций многих аргументов.

Разумеется, это не диказательство, а объяснение, почему так надо делать (при условии независимости и невырожденности ограничений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 04:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Red_Herring, а, вы про страницу 54 у Гельфанда. Это тяжко, это переваривать надо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 05:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
StaticZero в сообщении #1473382 писал(а):
а, вы про страницу 54 у Гельфанда. Это тяжко, это переваривать надо...
Честно, я про стр 54 Г. не знаю ничего (не читал)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 13:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Если взять связь $f(t, \mathbf q) = 0$ и сказать, что это ограничение имеет место только в момент времени $t_0$ в виде $f(t_0, \mathbf q) = 0$, то $t_0$ опускается на уровень индекса и $f_{t_0}$ можно интерпретировать, как интегральный функционал, а значит можно решать изопериметрическую задачу, а там эти множители константы. Ну и дальше, коль уж это не один функционал, а целое однопараметрическое их семейство, значит и множители будут от времени зависеть.

Объяснение хорошее, но я искал чего-то другого. Вот посмотрим на вопрос об условном экстремуме функции $F$. Мы там тоже очень быстро можем прийти к
системе уравнений
$$
\begin{cases}
\operatorname{grad} F + \lambda \operatorname{grad} f = 0, \\
f(\mathbf x) = 0.
\end{cases}
$$
Мы можем отщипнуть сверху одно уравнение, например,
$$
\frac{\partial F}{\partial x_1} + \lambda \frac{\partial f}{\partial x_1} = 0
$$
и определить $\lambda$, как $- \partial_1 F / \partial_1 f$, и в таком виде дальше её вставить во все остальные уравнения.
Тут тоже как бы не видно, что $\lambda$ константа, однако, если мы сначала будем решать уравнение с градиентом, то мы должны интерпретировать $\lambda$, как константу, а не как функцию от $\mathbf x$. Решение $\mathbf x_0$ тогда будет от $\lambda$ зависеть, как от параметра.

Здесь это вроде как очевидно, потому что есть простой пример:
$$
\begin{cases}
x^2 - 3 \lambda x y &= 0, \\
y^2 - 8 \lambda^2 x &= 0
\end{cases}
$$
Первое уравнение задаёт $\lambda(x, y)$. Его можно поставить во второе. А можно сначала решить систему относительно $x, y$, где будет болтаться $\lambda$ как константа, и мне очевидно, что получится одно и то же. Вот про системы диффуров такое уже не очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
StaticZero в сообщении #1473448 писал(а):
и определить $\lambda$,
при условии, что $\partial_1f\ne 0$. С вариационными задачами несколько сложнее, поскольку условие невырожденности надо предполагать для всех $t$ и глобально сделать это не всегда получится. Но давайте варьировать $\mathbf{q}$ только на каком-то промежутке. Тогда $$\partial_jL\ne 0$ для каког-нибудь $j$. Тогда меняя координаты можно считать, что $f=q_1$ и т.д. Аналогично с несколькими $f_1,\ldots, f_m$. Условие: матрица $$\bigl(\frac{\partial f_i }{\partial q_j}\bigr)_{\substack {i=1,\ldots, m\\ j=1,\ldots, n}}$$ имнеет ранг $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 15:14 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
StaticZero в сообщении #1473379 писал(а):
раться с тем, откуда берутся в задаче Лагранжа множители, как функции времени, и жёстко туплю.

Алексеев Тихомиров Фомин Оптимальное управление. 2 изд. Москва ФИЗМАТЛИТ 2005 стр 228
+ теорема о представлении линейного функционала в $L^2$

-- 12.07.2020, 16:19 --

StaticZero в сообщении #1473379 писал(а):
Я могу получить систему уравнений:
$$
\begin{cases}
0 &= \dfrac{\partial L}{\partial q_i} - \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i} + \lambda \dfrac{\partial f}{\partial q_i}, \qquad i = 1, \ldots, n,\\
0 &= f(t, \mathbf q).
\end{cases}
$$
Я могу оторвать от первых $n$ уравнений одно, через которое определю $\lambda(t, \mathbf q, \dot{\mathbf q}, \ddot{\mathbf q})$

если в этой системе уравнений дважды продифференцировать связь по времени и подставить туда $\ddot q$ выраженные из уравнений Лагранжа со множителями(если их оттуда можно выразить) то получится система линейных алгебраических уравнений на $\lambda$ (в случае одной связи -- одно линейное уравнение) откуда $\lambda=\lambda(t,q,\dot q)$. На связи тоже естественно накладываются известные условия невырожденности

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
pogulyat_vyshel,
$$
0 = \frac{\mathrm d f}{\mathrm dt} = \partial_t f + \sum_i \partial_i f \ \dot q_i,
$$
$$
0 = \frac{\mathrm d^2 f}{\mathrm dt^2} = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\partial_t f) + \sum_i \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\partial_i f \ \dot q_i) = 
\sum_i \partial_i f \ \ddot q_i,
$$
потому что полные производные от $\partial_i f$ и от $\partial_t f$ это нули, так что
$$
0 = \sum_i \partial_i f \ \ddot q_i.
$$
Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 15:36 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
StaticZero в сообщении #1473466 писал(а):
полные производные от $\partial_i f$ и от $\partial_t f$ это нули

впервые слышу

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
$$
0 = \partial_i(\mathrm df/\mathrm dt) = \partial_i \left( \partial_t f + \sum_j \partial_j f \ \dot q_j \right) = \partial_t (\partial_i f) + \sum_j \partial_j (\partial_i f) \ \dot q_j = 
\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\partial_i f)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение12.07.2020, 16:42 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Не пойдет.Функция $\lambda(t,q,\dot q)$ подбирается так, что бы функция
$$F(t,q,\dot q)=\frac{\partial f}{\partial t}+ \frac{\partial f}{\partial q^i}\dot q^i$$ была первыми интегралом уравнений
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}-\frac{\partial L}{\partial q^i}=\lambda\frac{\partial f}{\partial  q^i}\qquad(*).$$
Тут везде предполагается что $$\det\frac{\partial ^2L}{\partial \dot x^2}\ne 0,\quad d_qf\ne 0$$
Соответственно система (*) корректно разрешима по теореме Коши, а функция $f$ оказывается интегралом сужения этой системы на поверхность $\{F=0\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение13.07.2020, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Возьму-ка я какую-нибудь систему простую. Пусть это будет два линейных осциллятора
$$
\mathcal L = \frac{m \dot q^2_1}{2} - \frac{k q^2_1}{2} + \frac{M \dot q^2_2}{2} - \frac{k q^2_2}{2}
$$
связанных $f(t, q_1, q_2) = q_2 q_1 - q^2 \sin (\Omega t) = 0$, где $q = \operatorname{const}$.

Уравнения Эйлера--Лагранжа + связь
$$
\begin{cases}
m \ddot q_1 + k q_1 &= \lambda q_2, \\
M \ddot q_2 + k q_2 &= \lambda q_1, \\
q_2 q_1 &= q^2 \sin (\Omega t)
\end{cases}
$$

Ваш рецепт был: дифференцируя связь, найти связь ускорений и засунуть туда уравнения Э.--Л. Попробуем.
$$
\begin{align*}
\ddot q_2 q_1 + 2 \dot q_1 \dot q_2 + \ddot q_1 q_2 &= -q^2 \Omega^2 \sin(\Omega t), \\
\frac{q_1}{M} \left(\lambda q_1 - k q_2 \right) + \frac{q_2}{m} \left(\lambda q_2 - k q_1 \right) + 2 \dot q_1 \dot q_2 &= - q^2 \Omega^2 \sin (\Omega t)
\end{align*}
$$
откуда
$$
\lambda \left( \frac{q_1^2}{M} + \frac{q_2^2}{m} \right) - k q_1 q_2 \left(\frac{1}{M} + \frac{1}{m} \right) + 2 \dot q_1 \dot q_2 = -q^2 \Omega^2 \sin (\Omega t)
$$
и да, $\lambda$ получается как функция не выше первых производных, хотя сидит в уравнениях со второй производной. Мы теперь эту $\lambda$ можем подставить в оба уравнения Э.--Л. и получить экстремали, дальше останется только определить константы.

Но мой вопрос был такой: а мы можем пытаться решить сначала первые два уравнения с $\lambda$, а потом определить $\lambda$ по уравнению связи? Чтоб иметь возможность так сделать, необходимо предположить, что $\lambda$ зависит только от $t$.

Для простоты предположим, что $m = M$, тогда есть симметричная мода
$$
m \ddot w_+ + (k - \lambda) w_+ = 0, \qquad w_+ = q_1 + q_2
$$
и антисимметричная
$$
m \ddot w_- + (k - \lambda) w_- = 0, \qquad w_- = q_1 - q_2.
$$
Уравнения там одинаковые, так что нас интересует, в общем, уравнение
$$
\ddot x + \xi(t) x = 0.
$$
Вот фиг мы его решим в общем виде, как я понимаю, так что придерживаться нужно именно рецепта pogulyat_vyshel, выходит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение14.07.2020, 19:59 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Тут на самом деле все просто - в случае стационарных связей надо подобрать такую силу, направленную к нормали к траектории, чтобы тело двигалось с соотвествующим кривой центростремительным ускорением. В случае нестационарных связей тоже можно что-то придумать

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение14.07.2020, 22:03 


29/08/13
282
StaticZero в сообщении #1473448 писал(а):
Вот посмотрим на вопрос об условном экстремуме функции $F$. Мы там тоже очень быстро можем прийти к
системе уравнений
$$
\begin{cases}
\operatorname{grad} F + \lambda \operatorname{grad} f = 0, \\
f(\mathbf x) = 0.
\end{cases}
$$

StaticZero в сообщении #1473448 писал(а):
Тут тоже как бы не видно, что $\lambda$ константа, однако, если мы сначала будем решать уравнение с градиентом, то мы должны интерпретировать $\lambda$, как константу, а не как функцию от $\mathbf x$

Но ведь там в общем случае разным критическим точкам соответствуют разные $\lambda$. То есть, там $\lambda$ получается зависящей от критической точки. При этом можно сначала считать, что $\lambda = \lambda(\mathbf{x})$ и только "в конце" узнать, что в итоге в силу системы получается, что $\lambda$ определена только в критических точках. А до этого последнего момента работать с ней как с $\lambda(\mathbf{x})$.

Аналогия подсказывает, что для каждого отдельного критического пути будет $\lambda = \lambda(t)$, но для разных путей эти функции от $t$ будут разными, то есть просто объявить во всей системе диффуров, что $\lambda = \lambda(t)$ не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение14.07.2020, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
VanD, большое спасибо за ответ. Я пожую пока эту мысль.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group