2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение14.07.2020, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
VanD в сообщении #1473794 писал(а):
Аналогия подсказывает, что для каждого отдельного критического пути будет $\lambda = \lambda(t)$, но для разных путей эти функции от $t$ будут разными, то есть просто объявить во всей системе диффуров, что $\lambda = \lambda(t)$ не выйдет.
Разумеется для разных критических путей функции $\lambda(t)$ будут разными, точно так же как в предыдущем примере константа $\lambda$ будет разной для разных критических точек. Вне критических решений (точек или путей) $\lambda$ не определена. Разумеется, можно доопределить $\lambda$ из какого-то уравнения, но вовсе не факт, что это всегда нужно делать. Это может быть просто вредно, хотя бы просто потому, что выражая $\lambda$ из разных уравненичй мы получим разные уравнения.

Пример, показывающий вредность данного совета (помимо затушевывания того что вне критических решений (точек или путей) $\lambda$ не определена). Рассмотрим критические точки $$
\sum_{j=1} ^4 (x_j^4 - 4x^2_j),    \qquad \sum_{j=1}^4x_j=1.
$$ Получаем систему уравнений $$
4x_j^3 - 8x_j = \lambda, \qquad j=1,\ldots, 4
$$
и сразу видим, что поскольку уравнение имеет не более 3х корней, то какие-то два из $x_j$ совпадают.

При большем числе ограничений, и соответственно большем числе множителей Лагранжа вредность совета возрастает.
StaticZero в сообщении #1473802 писал(а):
Я пожую пока эту мысль.
И охота вам тянуть в рот всякую бяку. Выплюньте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение15.07.2020, 00:42 


29/08/13
282
Red_Herring в сообщении #1473809 писал(а):
При большем числе ограничений, и соответственно большем числе множителей Лагранжа вредность совета возрастает.


Хм, но совета-то вроде не было? Была речь о том, что, решив систему, мы получим не одну конкретную функцию $\lambda(t)$, а под каждый критический путь свою функцию. То есть тут так же, как в истории про
$$
\operatorname{grad}\, F + \lambda\, \operatorname{grad}\, f = 0,\qquad f = 0
$$
можно считать, что $\lambda$ просто играет роль ещё одной зависимой переменной. А по итогу в ответе получать в качестве $\lambda$ семейство функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение15.07.2020, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
VanD в сообщении #1473817 писал(а):
можно считать, что $\lambda$ просто играет роль ещё одной зависимой переменной.
А почему зависимой? И от чего зависимой? Заведомо, не от точки, а от уровня функции $f$ или функционала $M$. И не надо путать сведение вариационной задачи к уравнениям и решение этих уравнений.

Еще характерный пример: собственное нижнее собственное значение, скажем оператора Лапласа с граничными условиями Дирихле. Там ищется $(\Delta +\lambda )u =0$, $u|_\Gamma=0$, решение вариационной задачи $\|\nabla u\|^2$ при условиях $\u\|^2=1$, $u|_\Gamma=0$. Никто и никогда не выражает $\lambda $ как $\lambda =-\frac{\Delta u}{u}$. А если говорить о следующих собственных значениях, то это совсем плохо, т.к. $u$ заведомо где-то обращается в $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение15.07.2020, 10:18 


29/08/13
282
Red_Herring в сообщении #1473821 писал(а):
И не надо путать сведение вариационной задачи к уравнениям и решение этих уравнений.

так ведь речь ТС выше шла о том, чтобы потестировать, от чего зависит $\lambda$ уже через уравнения. Сомнения, как я понял, касались именно этого. Я, видимо, как-то неоднозначно выразился, но проделывать такое на практике
Red_Herring в сообщении #1473821 писал(а):
Никто и никогда не выражает $\lambda $ как $\lambda =-\frac{\Delta u}{u}$.

и близко не имел в виду. Я говорил о том, что нет никакого противоречия в аналогии с тем, чтобы в теории аккуратно выразить $\lambda$ из какого-нибудь уравнения и в конце найти, что $\lambda$ определена только на критических точках.

При этом в системе дифференциальных уравнений для разных путей (ну разумеется, критических) в силу системы функции от $t$ будут разными, то есть появится зависимость от начальных данных и получится семейство функций. То есть в системе уравнений просто можно считать, что $\lambda$ это что-то вроде $q^{n+1}$ -- ещё одной зависимой переменной. А ждать, что для всей системы уравнений $\lambda$ окажется одной конкретной функцией от $t$ не приходится.

А так и в силу системы для каждого отдельно взятого критического пути будет своя конкретная функция $\lambda(t)$ и других аргументов у неё не будет -- вот что даёт тест на аргументы $\lambda$ через систему дифференциальных уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение15.07.2020, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
VanD мне показалось, что ТС воспринял все не так, как Вы или я себе представляем, и не разделил два этапа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение15.07.2020, 16:31 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Задача участникам форума
Пусть дана система уравнений на плоскости $x''=f(x',x), y''=g(y',y)$, производные по $t$. Напишите уравнения при наличии динамической связи $l(x,y,t)=const$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение16.07.2020, 00:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
VanD в сообщении #1473871 писал(а):
речь ТС выше шла о том, чтобы потестировать, от чего зависит $\lambda$ уже через уравнения. Сомнения, как я понял, касались именно этого

Да, именно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение16.07.2020, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Sicker в сообщении #1473929 писал(а):
Задача участникам форума
Пусть дана система уравнений на плоскости $x''=f(x',x), y''=g(y',y)$, производные по $t$. Напишите уравнения при наличии динамической связи $l(x,y,t)=const$
Если уже есть уравнения, то накладывать какие-либо связи поздно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение16.07.2020, 07:48 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Red_Herring в сообщении #1474009 писал(а):
Если уже есть уравнения, то накладывать какие-либо связи поздно.

Ок, пусть у нас есть бусинка на меняющей форму леске, трение ноль. На бусинку действует сила $(f,g)$. Написать уравнения движения бусинки

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение16.07.2020, 08:52 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Стандартная задача на уравнения Лагранжа второго рода и что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение16.07.2020, 11:28 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
pogulyat_vyshel
Так ведь ее можно и без уравнений лагранжа второго рода решить, просто подобрав дополнительную силу так, чтобы нормальное ускорение было равно кривизне лески

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение16.07.2020, 13:00 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Sicker в сообщении #1474033 писал(а):
Так ведь ее можно и без уравнений лагранжа второго рода решить, просто подобрав дополнительную силу так,


так ведь подбор такой силы это в точности описанная выше процедура нахождения множителей Лагранжа

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение16.07.2020, 22:21 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
pogulyat_vyshel в сообщении #1474044 писал(а):
так ведь подбор такой силы это в точности описанная выше процедура нахождения множителей Лагранжа

С которой у ТС проблемы :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнения Эйлера--Лагранжа
Сообщение06.10.2020, 19:23 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Попытаюсь дать ответ, насколько я его понимаю.
Пусть есть функционал $\mathscr F(x)=\int\limits_a^b F(t, x, \dot{x})dt$, от функции $ x\in C^1 ([a,b],\mathbb R^n)$. И пусть есть ограничения на $x$ вида $\Phi(t,x,\dot x)=0$ для всех $t\in[a,b]$, где $\Phi$ -- скалярная функция своих аргументов. Предположим, что некоторая функция $x(t)$ является экстремалью функционала $\mathscr F$ при заданных ограничениях. В пространстве $C^1 ([a,b],\mathbb R^n)$ уравнение связи $\Phi(t,x,\dot x)=0$ задает некоторое многообразие, касательное пространство к которому в точке $x$, обозначим его $T_x$, состоит из всех вариаций $\delta x\in C^1([a,b],\mathbb R^n)$ удовлетворяющих условию
$$
\Phi'_x\delta x+\Phi'_{\dot x}\delta\dot x=0\;\;\text{ при всех } t\in [a,b]
$$
На этом подпространстве должна обращаться в нуль вариация функционала $\mathscr{F}$
$$
\delta\mathscr F(\delta x)=\int\limits_a^b(F'_x\delta x+F'_{\dot x} \delta{\dot x})dt
$$
Таким образом, у нас есть линейный оператор \delta\Phi\colon T_x\ni\delta x\mapsto\Phi'_x\delta x+\Phi'_{\dot x}\delta\dot x\in C([a,b],\mathbb R)$ такой, что из $\delta\Phi(\delta x)=0$ следует $\delta\mathscr F(\delta x)=0$. Тогда (см. тему https://dxdy.ru/topic46999.html) существует непрерывный линейный оператора $\Lambda\colon C([a,b],\mathbb R)\to \mathbb R$ такой, что $\delta\matscr F=\Lambda\circ\delta\Phi$. Теперь надо понять, как может выглядить линейный непрерывный оператор $\Lambda\colon C([a,b],\mathbb R)\to \mathbb R$ такой, чтобы
$$
\int\limits_a^b(F'_x\delta x+F'_{\dot x} \delta{\dot x})dt=\Lambda(\Phi'_x\delta x+\Phi'_{\dot x}\delta\dot x)
$$
Видимо, только $\Lambda(\varphi)=\int\limits_a^b\lambda (t)\varphi(t) dt$, где $\lambda(t)$ -- непрерывная скалярная функция на $[a,b]$. Почему только такой, я пока еще не совсем понимаю. По идее можно брать интеграл по произвольной мере (по функции ограниченной вариации), теорема Рисса.
В итоге получается
$$
\int\limits_a^b(F'_x\delta x+F'_{\dot x} \delta{\dot x})dt=\int\limits_a^b\lambda (t)(\Phi'_x\delta x+\Phi'_{\dot x}\delta\dot x)dt
$$
для всех функций $\delta x\in C^1([a,b],\mathbb R^n)$. Отсюда обычным методом получаются уравнения Эйлера-Лагранжа для плотности $L(t,x,\dot x)=F(t,x,\dot x)-\lambda(t)\Phi(t,x,\dot x)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group