2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тригонометрическое уравнение.
Сообщение05.02.2006, 20:24 


24/01/06
2
Москва
Помогите plz решить это триг. уравнение или дайте ссылку. Первоисточник, к сожалению, мне неизвестен.
$$\frac{1}{\sin^3x}+\frac{1}{\cos^3x}=1$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.02.2006, 22:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Существует два семейства корней, $x_0 + 2 \pi k$, $x_0 \approx \frac{3 \pi}{4}$ и $x_1 + 2 \pi k$, $x_1 \approx \frac{7 \pi}{4}$. Перенося $\cos^{-3}x$ в правую часть и возводя обе части в квадрат, мы получаем уравнение, в котором $\cos x$ можно заменить на новую переменную, и оно станет алгебраическим. Корни же оного в замкнутой форме не выражаются, вернее, я не думаю, что выражаются...

Кубок за выигрыш соревнования доставьте пожалуйста в библиотеку.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2006, 01:04 


06/02/06
3
Кубок говорите ... мда ... Тут вот какая проблема. Уравнение $\sin(7x)=1/3$
легко решается, однако при этом сводится к полиномиальному уравнению относительно $\tg(x/2)$. Решится оно в радикалах? Навряд ли, т.к. корень его $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ вроде как трансцендентен. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2006, 02:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
2 Valk:
Согласен с первой частью утверждения, не согласен со второй. $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ удовлетворяет алгебраическому уравнению 14 степени. Правда, в радикалах не выражается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрическое уравнение.
Сообщение06.02.2006, 02:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
участник писал(а):
$\frac{1}{\sin^3x}+\frac{1}{\cos^3x}=1$


Ну давайте обозначим $c=\cos x$, $s=\sin x$. Получим симметрическую систему уравнений
$$\begin{cases}c^3+s^3=c^3s^3,\\c^2+s^2=1.\end{cases}$$
Посему обозначаем
$$\begin{cases}u=c+s,\\v=cs.\end{cases}$$
Тогда $c^2+s^2=c^2+2cs+s^2-2cs=(c+s)^2-2cs=u^2-2v$ и $c^3+s^3=c^3+3c^2s+3cs^2+s^3-3c^2s-3cs^2=(c+s)^3-3cs(c+s)=u^3-3uv$, и наша система приводится к виду
$$\begin{cases}u^3-3uv=v^3,\\u^2-2v=1.\end{cases}$$
Из второго уравнения выражаем $v=\frac{u^2-1}{2}$ и подставляем в первое:
$$u^3-\frac{3u(u^2-1)}{2}=\frac{(u^2-1)^3}{8}$$,
$$8u^3-12u(u^2-1)=(u^2-1)^3$$,
$$8u^3-12u^3+12u=u^6-3u^4+3u^2-1$$.
После упрощений получаем уравнение шестой степени:
$$u^6-3u^4+4u^3+3u^2-12u-1=0$$.
Это уравнение имеет два действительных корня ($u_1\approx-0.081852375778985830020805$ и $u_2\approx 1.575678970524022291296329$) и четыре комплексных, но вряд ли их удастся выразить через радикалы. Хотя, конечно, чем чёрт не шутит.
Далее нужно вычислить соответствующие значения $v$; неизвестные $c$ и $s$ находятся как корни квадратного уравнения $t^2-ut+v=0$. Вычисления дают $v_1\approx-0.496650094289667846918041$ и $v_2\approx 0.741382109075821354344140$, откуда для $u_1$ и $v_1$ находим
$$\begin{cases}\cos x=c_1\approx-0.746847605006748200413701,\\ \sin x=s_1\approx 0.664995229227762370392896,\end{cases}$$
$$\begin{cases}\cos x=c_2\approx 0.664995229227762370392896,\\ \sin x=s_2\approx-0.746847605006748200413701,\end{cases}$$
а $u_2$ и $v_2$ дают комплексные $c$ и $s$.

P.S. Корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами по определению называются алгебраическими числами. Так что $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ - число алгебраическое. Хотя через радикалы, возможно, и не выражающееся.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2006, 05:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Еще один способ получить уравнение, указанное Someone -- сдвинуть аргумент на $\pi/4$. Тогда, если $x \to y+\pi/4$, и раскрывая синусы / косинусы, приходим к уравнению относительно $ \sqrt2 \cos y $.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2006, 13:55 


06/02/06
3
Про трансцендентность числа $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ действительно написал глупость. Дело, впрочем, не в этом. Неразрешимость в общем случае уравнений степени >4 в радикалах установлена. Известно, что уравнение пятой степени решается в тета-функциях.
Но на примере полиномиального уравнения $\sin(7x)=1/3$ хотелось показать, что с использованием триг. и обратных триг. функций решаются некоторые и неразрешимые в радикалах уравнеия. (Хотя как установить точно, что $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ не выражается в радикалах?? С помощью MAPLE не удалось решить полиномиальное уравнение 14-ой степени $\sin(7x)=1/3$ ...) Так вот вопрос: с радикалами все понятно, но с использованием триг. и обратных триг. функций какие уравнения можно точно решить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2006, 00:35 


19/01/06
179
проводя примерно такое-же преобразование как и незванный гость т.е. приводя к общему знаменателю и возводя в квадрат обе стороны, можно получить уравнение 6-й степени относительно Sin(2x).

кстати, прямое применение mathcad к начальному уравнению, дает два вышеуказанных действительных корня и вдобавок к ним 10 комплексных. Не знаю по какому алгоритму ищет mathcad (может кто знает?), но точно эти 12 корней дает приведение к уравнению 12-й степени стандартный переход на тангенс половинного угла

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2006, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/10/05

2601
Москва,физфак МГУ,1990г
Valk писал(а):
. Известно, что уравнение пятой степени решается в тета-функциях.

А как эти тета-функцияи зависят от коэффициентов уравнения пятой степени ?Кто=либо знает?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2006, 20:06 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
PSP писал(а):
Valk писал(а):
. Известно, что уравнение пятой степени решается в тета-функциях.

А как эти тета-функцияи зависят от коэффициентов уравнения пятой степени ?Кто=либо знает?

MathWorld знает. См. Quintic Equation.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2006, 20:11 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Valk писал(а):
Хотя как установить точно, что $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ не выражается в радикалах??

Вычислить группу Галуа соответствующего полиномиального уравнения и убедиться, что она неразрешима. В мапле это должно быть легко, впрочем для таких задач больше подходит GAP, который к тому же бесплатный.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2006, 20:16 
Заслуженный участник


31/12/05
1405
maxal писал(а):
Вычислить группу Галуа соответствующего полиномиального уравнения и убедиться, что она неразрешима.

Я недавно давал, и он ответил мне S_6.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.02.2006, 20:20 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
tolstopuz писал(а):
Я недавно давал, и он ответил мне S_6.

Ну так все $S_n$ для $n\geq 5$ неразрешимы. Отсюда и следует неразрешимость в радикалах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group