2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 16:54 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Арифметические операции над случайными величинами (СВ), имеющими степенно распределение...

Есть две СВ с распределением Парето, как их сложить?

По идее, такое распределение устойчиво и сумма тоже распределена по закону Парето... Но как складывать, математического ожидания нет, дисперсии нет...
Использовать формулу для плотности вероятностей суммы случайных величин и попытаться из нее вывести значение параметров суммы?
А более сложные операции как?
Имитационное моделирование тоже использовать сложно - нет устойчивости...

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 17:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
prof.uskov в сообщении #1465988 писал(а):
Но как складывать, математического ожидания нет, дисперсии нет...

Что это было? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 17:43 


11/07/16
801
Есть четыре типа распределений Парето. Какой(ие) из них Вы имеете в виду? Да. еще,
Цитата:
По идее, такое распределение устойчиво и сумма тоже распределена по закону Парето...
- это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 19:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Парето не относится к устойчивым распределениям. Парето может иметь конечные матоожидание и дисперсию, в зависимости от параметров распределения.
А так - считайте свёртки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 21:10 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Да, на счет устойчивости распределения Парето погорячился.
Распределение Коши является бесконечно делимым: сумма независимых случайных величин, распределённых по Коши, также распределена по Коши.
Как с ним быть?

-- 30.05.2020, 22:15 --

Brukvalub в сообщении #1466001 писал(а):
prof.uskov в сообщении #1465988 писал(а):
Но как складывать, математического ожидания нет, дисперсии нет...

Что это было? :shock:

Имел в виду, что для нормальных распределений мы бы просто сложили матожидания и дисперсии слагаемых и получили бы параметры распределения суммы.
Для распределения Парето при определенных параметрах нет ни матожидания, ни дисперсии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 22:16 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
prof.uskov
Это две разные задачи - искать матожидание суммы с.в. (не распределений!) и искать распределение суммы.
prof.uskov в сообщении #1466052 писал(а):
Распределение Коши является бесконечно делимым: сумма независимых случайных величин, распределённых по Коши, также распределена по Коши.
Как с ним быть?

Как угодно. Самый простой способ для нез. с. в. - с помощью характеристических функций.
Но можно и свертку, как выше предлагали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 22:24 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Otta в сообщении #1466059 писал(а):
prof.uskov
Это две разные задачи - искать матожидание суммы с.в. (не распределений!) и искать распределение суммы.

Для устойчивого распределения это одно и тоже - достаточно найти параметры закона распределения суммы, а его вид с точностью до параметров нам известен.

Короче, понял, придется считать интегралы... :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 22:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
prof.uskov в сообщении #1466062 писал(а):
Для устойчивого распределения это одно и тоже

Если бы это было одним и тем же, вряд ли у Вас возник бы этот вопрос, верно?

-- 31.05.2020, 00:31 --

prof.uskov в сообщении #1466062 писал(а):
Короче, понял, придется считать интегралы... :)

Я Вас могу утешить: характеристические функции для стандартных распределений известны, пользуйтесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 23:26 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Otta в сообщении #1466064 писал(а):
prof.uskov в сообщении #1466062 писал(а):
Для устойчивого распределения это одно и тоже

Если бы это было одним и тем же, вряд ли у Вас возник бы этот вопрос, верно?

Так для нормального распределения все и просто: суммируем матожидания и дисперсии слагаемых и вот у нас параметры нормального распределения суммы.
А здесь первых двух моментов не существует.
Как найти параметры распределения суммы из параметров слагаемых?

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение30.05.2020, 23:49 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
prof.uskov
Вы определитесь. Вам нужны моменты (которых не существует) или распределение?
Судя по начальному запросу, второе.
Тогда у Вас есть минимум два способа. См. выше.
Для распределения Коши, например, быстрее всего будет считать именно х.ф., а не плотность суммы.
Но конечно, это в том случае, когда знаешь как, и что потом с этим делать.

-- 31.05.2020, 02:05 --

Мало ли что для нормального. А для хи-квадрат? тоже матожидания считать будете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение31.05.2020, 01:29 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Otta в сообщении #1466074 писал(а):
prof.uskov
Вы определитесь. Вам нужны моменты (которых не существует) или распределение?
Судя по начальному запросу, второе.
Тогда у Вас есть минимум два способа. См. выше.
Для распределения Коши, например, быстрее всего будет считать именно х.ф., а не плотность суммы.
Но конечно, это в том случае, когда знаешь как, и что потом с этим делать.

-- 31.05.2020, 02:05 --

Мало ли что для нормального. А для хи-квадрат? тоже матожидания считать будете?

Согласен, спасибо. Попробую написать программу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение31.05.2020, 02:05 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Как интересно. Программа.
Для хи-квадрат это устная задача.
Для Коши - почти устная.
Для Парето... ну там, конечно, много интересного. :) выдержит ли программа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение31.05.2020, 07:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ну, свёртки можно и через Фурье считать (а если на выходе нужно именно распределение, то нужны свёртки), а характеристические функции это, некоторым образом, Фурье. И выгода в том случае, когда х.ф. уже посчитаны и берутся готовые. В случае Коши получаем ту же функцию, с очевидными изменениями в её параметрах (для хи-квадрат и это "на одного медведя с двумя кулаками", достаточно определение и свойства вспомнить), а вот насчёт именно Парето - выписать х.ф. суммы можно, и даже один сомножитель ведёт себя замечательно, "идёт на сотрудничество", а во втором неполная гамма-функция, и что делать с произведениями неясно. И лично я в случае Парето считал бы через свёртку. Хотя можно и через х.ф. суммы, а потом её обратно фурьерить.
Но, во всяком случае, сумма распределений Парето уже не будет Парето.

 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение31.05.2020, 10:00 


11/07/16
801
prof.uskov
Цитата:
Попробую написать программу

Математика 12.0 выражает плотность распределения суммы независимых распределений Парето первого рода через неполную бета-функцию, т.е. некоторые интегралы
Код:
PDF[TransformedDistribution[ x + y, {x \[Distributed] ParetoDistribution[a, b],
   y \[Distributed] ParetoDistribution[c, d]}], t]
\[Piecewise]   (1/(-c+t))a^b b (-c^d (1-a/t)^-d (1/t)^(b+d) (a/t)^-b+c^(1+d) (1-a/t)^-d (1/t)^(1+b+d) (a/t)^-b-c^(1+d) (1-c/t)^-b (1/t)^(1+b+d) (c/t)^-d+(1/(-c+t))^b+c^d (b+d) (1/t)^(1+b+d) (-c+t) Beta[1-c/t,-b,1-d]-c^d (b+d) (1/t)^(1+b+d) (-c+t) Beta[a/t,-b,1-d])   a+c-t<0
0   True

Если параметры являются конкретными рациональными числами, то ответ получается в терминах гипергеометрических функций. Когда параметры $b,d$ являются небольшими натуральными числами, то громозкий результат выражается в замкнутом виде, например,
Код:
PDF[TransformedDistribution[
  x + y, {x \[Distributed] ParetoDistribution[3/4, 2],
   y \[Distributed] ParetoDistribution[3/2, 3]}], t]

\[Piecewise]   (1/(32 t^6 (-3+2 t)^2 (-3+4 t)^3))9 (-196830 t+940410 t^2-1691280 t^3+1385100 t^4-474336 t^5+23040 t^6+10752 t^7+1024 t^8+196830 Log[3]-1049760 t Log[3]+2187000 t^2 Log[3]-2216160 t^3 Log[3]+1088640 t^4 Log[3]-207360 t^5 Log[3]-98415 Log[2-3/t]+524880 t Log[2-3/t]-1093500 t^2 Log[2-3/t]+1108080 t^3 Log[2-3/t]-544320 t^4 Log[2-3/t]+103680 t^5 Log[2-3/t]-98415 Log[4-3/t]+524880 t Log[4-3/t]-1093500 t^2 Log[4-3/t]+1108080 t^3 Log[4-3/t]-544320 t^4 Log[4-3/t]+103680 t^5 Log[4-3/t]-196830 Log[t]+1049760 t Log[t]-2187000 t^2 Log[t]+2216160 t^3 Log[t]-1088640 t^4 Log[t]+207360 t^5 Log[t])   t>9/4
0   True



 Профиль  
                  
 
 Re: Арифметические операции степенными распределениями
Сообщение31.05.2020, 11:25 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Markiyan Hirnyk в сообщении #1466091 писал(а):
prof.uskov
Цитата:
Попробую написать программу

Математика 12.0 выражает плотность распределения суммы независимых распределений Парето первого рода через неполную бета-функцию...

Проблема в том, что мне сумму не двух, а произвольного количества находить нужно. Для устойчивого распределения (например, Коши) аналитические выражения, видимо, будут приемлемой сложности. А для Парето - необозримы в силу размера.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group