2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Наткнулся сегодня на презабавное уравнение $f'(x)=f^{-1}(x)$. Вдруг здесь ещё его не рассматривалось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 22:21 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Полезно записать это как $f'\circ f = \mathrm{id} = f\circ f'$. Можно получить отсюда уравнения $(f''\circ f) f' = 1 = (f'\circ f') f''$, не особо полезнее конечно. Из первого докомпозированием $f$ можно получить $f''\circ f\circ f = f = f\circ f''\circ f$, из второго $f' (f''\circ f) = f = f' (f\circ f'')$, короче кажется на этом пути ничего интересного не получается, а вот исходное соотношение может хотя бы дать какие-то соотношения на коэффициенты ряда, но лень пока их считать.

UPD: По крайней мере можно установить, что для формальных степенных рядов (с натуральночисленными степенями) решений нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4265
Решение в виде степенной функции подбирается без труда: $y=\varphi^{1-\varphi}x^\varphi$, где $\varphi$ - коэффициент "золотого сечения": $\varphi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Mihr в сообщении #1464240 писал(а):
Решение в виде степенной функции...
Это решение совпадает с авторским.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 22:33 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Можно найти частное решение $f(x)=n^{-1/n}x^n$, где $n$ - вовсе не целое, но все равно красивое, взяв $f()$ от исходного уравнения

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 23:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
https://mathoverflow.net/questions/3405 ... 4095#34095

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 23:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
$f(x)=\sqrt{2x+c}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
lek, в задаче имеется в виду обратная по отношению к операции композиции, а не умножения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение20.05.2020, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
871
Пора спать ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение21.05.2020, 07:21 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Задача есть на YouTube-канале Michael Penn. Там тоже подбором находится частное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение21.05.2020, 07:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11533
Да, там я на него и набрёл. Упомянутая в конце ролика следующая задача наверняка понравится arseniiv.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение21.05.2020, 07:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
В 1968 году Youtube не было.

Ссылка на саму статью:

https://www.jstor.org/stable/2316695?seq=1

Она короткая, поэтому прилагаю картинку.

Вложение:
derivative.png
derivative.png [ 775.82 Кб | Просмотров: 0 ]

 Профиль  
                  
 
 Re: Производная равна обратной
Сообщение22.05.2020, 00:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Утундрий в сообщении #1464280 писал(а):
Упомянутая в конце ролика следующая задача наверняка понравится arseniiv.
$f' = f\circ f$, мм. Да я вон даже в формальные ряды как следует не умею, что-то я не уверен, что в таких задачах от меня бывает польза. Хотя надо будет посчитать…

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group