2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость ряда Дирихле и интеграла Лапласа
Сообщение15.05.2020, 12:32 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Пусть есть возрастающая последовательность действительных чисел
$$
0\leqslant\lambda_1<\lambda_2<\ldots<\lambda_n<\ldots,
$$
такая что, $\lambda_n\to+\infty$ при $n\to\infty$. И пусть $h(x)$ -- непрерывная на всей прямой функция (со значениями в $\mathbb C$), линейная на каждом отрезке $[\lambda_{n},\lambda_{n+1}]$, и такая, что $h(x)=0$ при всех $x<0$. Обозначим $a_n=h'(\lambda_n+0)-h'(\lambda_n-0)$, $n=1,2,\ldots$, -- скачки производной в точках $\lambda_n$.

Вопрос состоит в следующем: предположим, что для некоторого $\sigma_1>0$ абсолютно сходится интеграл $\int\limits_0^{+\infty} h(x)e^{-x\sigma_1}dx$. Следует ли отсюда, что для некоторого $\sigma_2>0$ будет абсолютно сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_n\sigma_2}$.

По-видимому, для произвольной последовательности $\{\lambda_n\}$ ответ отрицательный, но пока ни доказать ни привести контрпример не получилось. Но есть предположение, что если последовательность $\{\lambda_n\}$ возрастает не слишком медленно, то утверждение будет верно. На самом деле прежде всего интересует случай $\lambda_n=\ln n$, тогда получается обычный ряд Дирихле $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{-\ln n s}=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{a_n}{n^s}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Дирихле и интеграла Лапаласа
Сообщение15.05.2020, 12:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8353
Цюрих
Как минимум сходимость интеграла слабо зависит от происходящего на коротких отрезках, а сходимость ряда - зависит. Соответственно можно взять что-то вроде $\lambda_{2k} = k$, $\lambda_{2k + 1} = k + \frac{1}{2^{2^k}}$, $h(\lambda_{2k}) = 0$, $h(\lambda_{2k + 1}) = 1$ - функция вообще ограничена, так что интеграл сходится. А вот скачки производной растут как двойная экспонента, поэтому общий член ряда не стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Дирихле и интеграла Лапаласа
Сообщение15.05.2020, 12:49 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Ясно, спасибо. Надеюсь, для $\lambda_n=\ln n$ всё-таки верно. Буду думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость ряда Дирихле и интеграла Лапласа
Сообщение15.05.2020, 13:54 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Вроде бы доказал для $\lambda_n=\ln n$. Во-первых интеграл $\int\limits_0^\infty h(x)e^{-x\sigma}dx$ абсолютно сходится для некоторого $\sigma>0$ тогда и только тогда, когда для некоторого $\sigma$ будет $\int\limits_{\ln n}^{\ln (n+1)} |h(x)e^{-x\sigma}|dx\to 0$ (тогда для $\sigma_1=\sigma+1+\varepsilon$ будет уже сходимость). Во-вторых, по первой теореме о среднем
$$
\int\limits_{\ln n}^{\ln(n+1)} |h(x)e^{-x\sigma}|dx=(n+\theta)^{-\sigma}\int\limits_{\ln n}^{\ln (n+1)}|h(x)|dx,\;\;\text{где}\;\; 0\leqslant\theta\leqslant 1
$$
Поэтому, $\int\limits_{\ln n}^{\ln (n+1)} |h(x)e^{-x\sigma}|dx\to 0$ равносильно $\int\limits_{\ln n}^{\ln (n+1)} |h(x)|dx=o(n^{\sigma})$
А так как
$$
(\ln(n+1)-\ln n)\frac12\max(|h(\ln (n+1))|,|h(\ln n)|)\leqslant\int\limits_{\ln n}^{\ln (n+1)} |h(x)|dx\leqslant (\ln(n+1)-\ln n)\frac{|h(\ln(n+1))|+|h(\ln n)|}{2},
$$
и $\ln(n+1)-\ln n\sim\frac 1n$, то это равносильно тому, что $h(\ln n)=o(n^{\sigma+1})$. Тогда $h'(\ln n)=o(n^{\sigma+2})$. Но тогда и $a_n=h'(\ln n+0)-h'(\ln n-0)=o(n^{\sigma+2})$. Значит, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n^{\sigma+3+\varepsilon}}$ будет абсолютно сходится.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group