2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Система дифуров
Сообщение11.03.2020, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Функции $a(x),~b(x)$ удовлетворяют системе $$\left\{ {\begin{array}{ccc} {a &=& \left( {abb'} \right)^\prime  }  \\
   {b &=& \left( {baa'} \right)^\prime  }  \\ \end{array} } \right.$$и условию $$\left( {a'} \right)^2  + \left( {b'} \right)^2  < 1$$Что можно сказать о положительных решениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение11.03.2020, 15:05 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
А начальные условия известны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение11.03.2020, 22:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Корректирую.

Изначально меня интересовали не обращающиеся в нуль решения вариационной задачи $$\delta \int {ab\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 } } ~dt = 0$$Поэтому я, глядя на уравнения $$\[
\begin{gathered}
  b\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 }  = \frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{ab\dot a}}
{{\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 } }}} \right) \hfill \\
  a\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 }  = \frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{ab\dot b}}
{{\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 } }}} \right) \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$$зачем-то сразу ввёл $d\eta : = dt\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 } $ и получил цитированную выше систему.

А надо было не спешить и вспомнить за интеграл $$\[
\frac{{ab}}
{{\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 } }} = const
\]
$$который заменами $t \to kt,~a \to ka,~b \to kb$ сводится к $$\[
\frac{{ab}}
{{\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 } }} = 1
\]
$$ после чего уравнения принимают более приятный вид $$\[
\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {\ddot a = ab^2 }  \\
   {\ddot b = a^2 b}  \\

 \end{array} } \right.
\]
$$Ну а теперь те же вопросы, но к новой системе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение12.03.2020, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Утундрий
Попробуйте подставить в $a,b$ их ряды Тейлора, и посмотреть, что получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение12.03.2020, 15:00 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
Если вопрос в том, существуют ли положительные решения системы, то да, существуют.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение12.03.2020, 16:00 


20/01/12
194
Утундрий в сообщении #1444409 писал(а):
после чего уравнения принимают более приятный вид:
...
Ну а теперь те же вопросы, но к новой системе.

Частное решение:

$a == b$ $\Rightarrow$

$\ddot a = a^3$ $\Rightarrow$

$a = \frac{p}{x}$ $\Rightarrow$

$\ddot a = \frac{2\cdot p}{x^3}$ $\Rightarrow$

$\frac{2\cdot p}{x^3} = \frac{p^3}{x^3}$ $\Rightarrow$

$p = \sqrt{2}$ $\Rightarrow$

$a = \frac{\sqrt{2}}{x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение12.03.2020, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
=SSN= в сообщении #1444503 писал(а):
$a = \frac{\sqrt{2}}{x}$
Не выполняется $$\[ \frac{{ab}} {{\sqrt {1 + \dot a^2 + \dot b^2 } }} = 1 \] $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение12.03.2020, 20:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
Munin в сообщении #1444477 писал(а):
Попробуйте подставить в $a,b$ их ряды Тейлора, и посмотреть, что получится.
Ну, там полный хаос получается в высших коэффициентах. Впрочем, извлёк оттуда удобную параметризацию начальных данных: $$\[
\begin{gathered}
  a(0) = \sqrt {\ch k_0 } ~e^{k_1 } ,~b(0) = \sqrt {\ch k_0 } ~e^{ - k_1 }  \hfill \\
  \dot a(0) = \sh k_0 \cos k_2 ,~\dot b(0) = \sh k_0 \sin k_2  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]$$И похоже, что$$a(t) = \frac{{A(t)}}{{T^2  - t^2 }}, \quad b(t) = \frac{{B(t)}}{{T^2  - t^2 }}$$где $A$ и $B$ ограничены на $[ { - T,T} ].$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение13.03.2020, 22:21 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Утундрий в сообщении #1444409 писал(а):
А надо было не спешить и вспомнить за интеграл $$\[
\frac{{ab}}
{{\sqrt {1 + \dot a^2  + \dot b^2 } }} = \operatorname{const}
\]
$$

А откуда он взялся? Это странно...
Потому как для решения, найденного =SSN=, это не интеграл - а должна быб быть.
Также и для решения самой-самой исходной задачи :
$a=b=\frac{x^2}{2\sqrt{2}}$ это тоже не интеграл....Ааа, впрочем, там производные, видимо, не по тем переменным

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение13.03.2020, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
DeBill в сообщении #1444781 писал(а):
там производные, видимо, не по тем переменным
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение14.03.2020, 01:31 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Дело не в этом. При выводе уравнения $a''=a^3$ использовано $\frac{a^2}{\sqrt{1+2a'^2}}=1$, поэтому константы, возникающие при интегрировании первого, должны выбираться с учётом второго. При получении решения $a=\frac{\sqrt 2}x$ это не учитывалось, поэтому неудивительно, что оно не удовлетворяет исходному уравнению Эйлера-Лагранжа. Оно не имеет отношения к задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение14.03.2020, 02:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
svv в сообщении #1444794 писал(а):
Оно не имеет отношения к задаче.
Некоторое - имеет: описывает поведение решения в особой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение14.03.2020, 11:55 
Аватара пользователя


23/07/07
164
А если так?
$$\left\{
\begin{array}{c}
   {\ddot a = ab^2}  \\
   {\ddot b = a^2b}  \\
\end{array}
\right.\quad\Rightarrow\left\{
\begin{array}{c}
   {a\ddot a = a^2b^2}  \\
   {b\ddot b = a^2b^2}  \\
\end{array}
\right.\quad\Rightarrow
a\ddot{a}=b\ddot{b}=\lambda,\quad
\lambda=\operatorname{const}$$В итоге сводится к решению автономного уравнения типа
$$y\ddot{y}=\lambda$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение14.03.2020, 12:00 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Тут из $a\ddot{a}=b\ddot{b}=\lambda$ не следует, что $\lambda$ константа, она зависит от $t$.
Потому что $a$ и $b$ не являются независимыми переменными. Они обе зависят от $t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Система дифуров
Сообщение14.03.2020, 12:45 
Аватара пользователя


23/07/07
164
В общем случае согласен, но если предположить, что $\lambda=\operatorname{const}$, то можно оценить условие $\dot{a}^2+\dot{b}^2<1$, которое приведёт к виду$$ab<a_0b_0e^{-\frac{\left(\dot{a}_0^2+\dot{b}_0^2\right)}{2\lambda}}$$и оценить положительные решения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: epros


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group