2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщаю т. Пифагора
Сообщение04.05.2008, 17:40 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
Рассмотрим обычный треугольник (на евклидовой плоскости), у которого одна сторона больше двух других: $c > b \geqslant a$. Если хотите, $c$ можете называть гипотенузой, а $a$ и $b$ - катетами. Тогда найдется такое $D > 1$ (зависящее от треугольника и имеющее смысл размерности), что

$a^D + b^D = c^D$ (обобщенная теорема Пифагора).

Действительно, рассмотрим уравнение $(a/c)^x + (b/c)^x = 1$. Его левая часть при больших $x$ будет почти нулем, а при малых - почти двойкой. Значит, при некотором $x = D > 0$ в силу непрерывности она будет в точности единицей. А поскольку в треугольнике всегда $a + b > c$, то $D > 1$. Единственность $D$ докажите сами.

Например, для прямоугольного треугольника автоматически $D = 2$ (по т. Пифагора), а для равнобедренного - $D = \log(1/2) / \log(d/c)$, где $d = a = b < c$, так что в пределе, для равностороннего треугольника, $D = +\infty$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2008, 18:07 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Всё верно, по идее. Только вот это не понял:
geomath писал(а):
имеющее смысл размерности

_________________
geomath писал(а):
Единственность $D$ докажите сами.
Ну а это в силу монотонности.
_________________
Попробуйте обобщить на случай, когда одна сторона меньше двух других: $c < b \leqslant a$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2008, 13:47 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
AD писал(а):
Всё верно, по идее. Только вот это не понял: "имеющее смысл размерности".

Вообще-то, для меня всякое отношение логарифмов имеет смысл размерности. По аналогии. В треугольнике всегда a + b > c. А как представить себе a + b < c? Ну, например, как канторово множество с двумя масштабами длины, a/c и b/c. Хаусдорфова размерность D такого множества как раз удовлетворяет уравнению (a/c)^D + (b/c)^D = 1, но уже 0 < D < 1. Для собственно Канторовского множества имеем a/c = b/c = 1/3 и D = log 2 / log 3 ~ 0.63.

AD писал(а):
Попробуйте обобщить на случай, когда одна сторона меньше двух других: $c < b \leqslant a$

Если c < b < a, то просто переставим (переобозначим) c и a. Если же c < b = a = d и, по-прежнему, a^D + b^D = c^D, то D = log(1/2) / log(d/c) < 0 и в пределе, для равностороннего треугольника, D минус-бесконечно. Хотя выше D плюс-бесконечно. Нехорошо как-то.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.05.2008, 18:03 


21/03/06
1545
Москва
Развивая мысль, применяя т. косинусов (которая, кстати, также является обобщением т. Пифагора :D ), получим, что для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом между ними $\alpha$, справедливо соотношение:

$(a^D + b^D) = (a^2+b^2-2\cdot a\cdot b \cdot \cos{\alpha})^{\frac{D}{2}}$
К сожалению, выразить отсюда $D$ не удается (во всяком случае MathCAD спасовал).

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

P. S. geomath, посмотрите, пожалуйста, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13863, и если дадите добро, давайте я напишу свою мысль здесь, а ту тему попрошу модераторов удалить?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2008, 13:02 
Аватара пользователя


15/11/06
2689
Москва Первомайская
e2e4 писал(а):
geomath, посмотрите, пожалуйста, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13863, и если дадите добро, давайте я напишу свою мысль здесь, а ту тему попрошу модераторов удалить?

Давайте, пишите.

e2e4 писал(а):
Развивая мысль, применяя т. косинусов (которая, кстати, также является обобщением т. Пифагора :D ), получим, что для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом между ними $\alpha$, справедливо соотношение:
$(a^D + b^D) = (a^2+b^2-2\cdot a\cdot b \cdot \cos{\alpha})^{\frac{D}{2}}$
К сожалению, выразить отсюда $D$ не удается (во всяком случае MathCAD спасовал).

Если фиксировать стороны a и b или их отношение, то D будет функцией угла альфа (но угол лучше обозначать С). И вопрос состоит в том, как разумно (с нетривиальными последствиями) выбрать этот угол в зависимости от a и b или их отношения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщаю т. Пифагора
Сообщение21.07.2008, 13:09 
Аватара пользователя


05/06/08
470
geomath писал(а):
Рассмотрим обычный треугольник (на евклидовой плоскости), у которого одна сторона больше двух других: $c > b \geqslant a$. Если хотите, $c$ можете называть гипотенузой, а $a$ и $b$ - катетами. Тогда найдется такое $D > 1$ (зависящее от треугольника и имеющее смысл размерности), что

$a^D + b^D = c^D$ (обобщенная теорема Пифагора).

Действительно, рассмотрим уравнение $(a/c)^x + (b/c)^x = 1$. Его левая часть при больших $x$ будет почти нулем, а при малых - почти двойкой. Значит, при некотором $x = D > 0$ в силу непрерывности она будет в точности единицей. А поскольку в треугольнике всегда $a + b > c$, то $D > 1$. Единственность $D$ докажите сами.

Например, для прямоугольного треугольника автоматически $D = 2$ (по т. Пифагора), а для равнобедренного - $D = \log(1/2) / \log(d/c)$, где $d = a = b < c$, так что в пределе, для равностороннего треугольника, $D = +\infty$.

Для равносторонних треугольников в точке высоты корень из трёх бесконечность меняет знак. Как в и случае с пределом натурального основания.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.07.2008, 17:23 
Аватара пользователя


05/06/08
470
e2e4 писал(а):
Развивая мысль, применяя т. косинусов (которая, кстати, также является обобщением т. Пифагора :D ), получим, что для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом между ними $\alpha$, справедливо соотношение:

$(a^D + b^D) = (a^2+b^2-2\cdot a\cdot b \cdot \cos{\alpha})^{\frac{D}{2}}$
К сожалению, выразить отсюда $D$ не удается (во всяком случае MathCAD спасовал).

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

P. S. geomath, посмотрите, пожалуйста, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13863, и если дадите добро, давайте я напишу свою мысль здесь, а ту тему попрошу модераторов удалить?

Аналитическую формулу спасовал нарисовать?
Потому как численное значение вычисляется тривиально можно делением пополам интервала.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group