2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Две ямы
Сообщение29.12.2019, 20:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Пусть есть какой-то двухъямный потенциал типа такого:
$\begin{tikzpicture}
	\draw (-4, 3)--(-4, -2)--(-1, -2)--(-1, 0)--(1, 0)--(1, -2)--(4, -2)--(4, 3);
	\draw [->, thick] (-6, 0)--(6, 0) node [pos=0.99, below] {$x$};
	\draw [->, thick] (0, -3)--(0, 3.5) node [pos=0.97, left] {$E$};
	\draw [fill] (-4, 0) circle (1mm) node [above left] {$-a-\frac b 2$};
	\draw [fill] (-1, 0) circle (1mm) node [above left] {$-\frac b 2$};
	\draw [fill] (1, 0) circle (1mm) node [above right] {$\frac b 2$};
	\draw [fill] (4, 0) circle (1mm) node [above right] {$a+\frac b 2$};
	\draw [dashed] (-1, -2)--(1, -2) node [pos=0.5, below left] {$-U_0$};
\end{tikzpicture}$

Пусть мы хотим найти глубоколежащее основное состояние (предполагаем, что оно реально глубоко лежит). Мы не хотим решать честно уравнение Шрёдингера, а хотим взять основное состояние левой ямы (в том месте, где левая яма, потенциал $L(x)$ равен $-U_0$, в остальном пространстве, где наш двухъямный потенциал не бесконечен, он равен нулю, а где бесконечен -- там $\infty$) и основное состояние правой ямы (всё аналогично для потенциала $R(x)$):
$$
\psi = \alpha \psi_L + \beta \psi_R
$$
Гамильтониан двухъямного потенциала равен $\hat {\mathcal H} = \hat {\mathcal T} + L(x) + R(x)$, и действуя им на линейную комбинацию, получаем
$$
\hat {\mathcal H} \psi =\alpha (\hat {\mathcal H}_L + R(x))\psi_L + \beta (\hat {\mathcal H}_R + L(x)) \psi_R = E_0 \psi + \alpha R(x) \psi_L + \beta L(x) \psi_R,
$$
где $\hat {\mathcal H}_L = \hat {\mathcal T} + L(x)$ и аналогично $\hat {\mathcal H}_R$. Уравнение Шрёдингера $\hat {\mathcal H} \psi = E \psi$ домножением и интегрированием приводится к системе $2 \times 2$
$$
	(E - E_0)
	\begin{pmatrix}
		1 &\int \psi^*_L \psi_R \\
		\int \psi^*_R \psi_L & 1
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		\alpha \\ \beta
	\end{pmatrix} =
	\begin{pmatrix}
		\int \psi^*_L R(x) \psi_L & \int \psi^*_L L(x) \psi_R \\
		\int \psi^*_R R(x) \psi_L & \int \psi^*_R L(x) \psi_R
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		\alpha \\ \beta
	\end{pmatrix}.
$$

Мы эту систему можем решить строго, всё матричные элементы хорошо вычисляются. Описание основного состояния в двухъямном потенциале (на самом деле, даже пары состояний, находящихся глубже всего, одно симметричное, другое асимметричное с мизерным расщеплением по энергии между друг другом) разложением только по двум функциям $\psi_L(x)$ и $\psi_R(x)$ должно быть почти точным.

Я тут задумался вот о чём. Скорее всего, если в одноямном потенциале всё же есть основное состояние (в том смысле, что оно ниже барьера), то и в двухъямном потенциале оно тоже будет (ну хотя бы симметричное, поскольку асимметричное может легко оказаться выше барьера, а мы такие не хотим).

Однако, пусть теперь мы рассматриваем не основное состояние. Допустим, мы возьмём в качестве затравочной линейную комбинацию двух одинаковых по энергии, но возбуждённых состояний ($n > 1$, если $n = 1$ основное) левой и правой ям:
$$
\psi = \alpha_n \psi_{L, n} + \beta_n \psi_{R, n}
$$
Мы точно так же можем написать уравнение Шрёдингера, сделать из него $2 \times 2$ систему и решить её точно. Как нам проверить, что это решение описывает (хотя бы приближенно) $n$-ную пару состояний в полном двухъямном потенциале (подобно тому, что такая линейная комбинация для основной пары состояний даёт почти верный результат, во что мы, в общем, поверили при некоторых условиях)?

Может же случиться и так, что мы выписали какую-то линейную комбинацию, решили с ней УШ, но ответ даже и близко не похож на то, что реально должно быть. Если мы поняли, что получили фигню, мы можем попробовать включить в разложение ещё какие-нибудь одноямные состояния (обычно, как я понимаю, требуются вышележащие), но размеры системы тогда увеличатся, например, если сделать
$$
\psi = \alpha_n \psi_{L, n} + \beta_n \psi_{R, n} + \alpha_{n+1} \psi_{L, n+1} + \beta_{n+1} \psi_{R, n+1}
$$
то система уравнений будет уже $4 \times 4$, и дальше снова нужно задать себе вопрос, а стало ли решение более лучше точным. Собственно, об этом и вопрос: не решая прямо УШ для анализируемой системы, можно ли сказать, насколько линейная комбинация состояний её частей точно передаёт состояния самой системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ямы
Сообщение29.12.2019, 20:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11531
StaticZero в сообщении #1432569 писал(а):
вопрос: не решая прямо УШ для анализируемой системы, можно ли сказать, насколько линейная комбинация состояний её частей точно передаёт состояния самой системы?
Можно свести УШ к вариационной задаче руководствоваться величиной функционала.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ямы
Сообщение29.12.2019, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Все это изучалось пару десятилетий назад и даже в многомерном случае, и не только оценивалась величина расщепления, но и находилась ее асимптотика (там экспонента, причем показатель $h^{-1}\min _\gamma\int _\gamma \sqrt{V-\lambda}\,dx$ (возможно, какой-то числовой коэффициент) где $\gamma$ путь, соединяющий ямы -- компоненты связности $\{ x \colon V-\lambda<0\}$, $\lambda$ уровень энергии

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ямы
Сообщение30.12.2019, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
StaticZero в сообщении #1432569 писал(а):
Как нам проверить, что это решение описывает (хотя бы приближенно) $n$-ную пару состояний в полном двухъямном потенциале (подобно тому, что такая линейная комбинация для основной пары состояний даёт почти верный результат, во что мы, в общем, поверили при некоторых условиях)?

Единственный подводный камень - это то, что нижний уровень какого-то верхнего состояния поменяется местами с верхним уровнем предыдущего под ним состояния.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ямы
Сообщение30.12.2019, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Munin в сообщении #1432587 писал(а):
это то, что нижний уровень какого-то верхнего состояния поменяется местами с верхним уровнем предыдущего под ним состояния.

Тут мой парсер поломался. Имеется в виду, что нижний уровень из $n+1$-й пары поменяется местами с верхним из $n$-й пары? А как это проявится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ямы
Сообщение30.12.2019, 01:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Только в том, что нумерация у вас перепутается :-) (Кстати, я подумал, после этого он может поменяться и с более дальними парами.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ямы
Сообщение30.12.2019, 03:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Munin в сообщении #1432605 писал(а):
Только в том, что нумерация у вас перепутается :-) (Кстати, я подумал, после этого он может поменяться и с более дальними парами.)

В случае одномерных симметричных ям никаких таких безобразий не будет по следующей тривиальной причине: $u_n$ имеет ровно $(n-1)$ нулей. Т.е. четные и нечетные функции будут чередоваться.

В многомерном случае это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Две ямы
Сообщение30.12.2019, 05:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Утундрий в сообщении #1432570 писал(а):
Можно свести УШ к вариационной задаче руководствоваться величиной функционала

Я нашёл (Sakurai J. J., Mod. Quant. Mech.) следующий результат. Пусть $\phi_0$ --- затравочная волновая функция, отвечающая основному состоянию $E_0$, а настоящая волновая функция, ему отвечающая, $\psi_0$. Тогда получим
$$
\begin{align*}
\left \langle \phi_0 \middle| \hat {\mathcal H} \middle| \phi_0 \right \rangle &= \sum \limits_k \left \langle \phi_0 \middle| \psi_k \right \rangle E_k \left \langle \psi_k \middle| \phi_0 \right \rangle = E_0 \left| \left \langle \psi_0 \middle| \phi_0 \right \rangle \right|^2 +  \sum \limits_{k > 0} \left \langle \phi_0 \middle| \psi_k \right \rangle E_k \left \langle \psi_k \middle| \phi_0 \right \rangle \geqslant \\
&\geqslant E_0  \left| \left \langle \psi_0 \middle| \phi_0 \right \rangle \right|^2 +  E_1 \sum \limits_{k > 0} \left \langle \phi_0 \middle| \psi_k \right \rangle \left \langle \psi_k \middle| \phi_0 \right \rangle = E_0 \left| \left \langle \psi_0 \middle| \phi_0 \right \rangle \right|^2 + E_1 \left( 1 - \left| \left \langle \psi_0 \middle| \phi_0 \right \rangle \right|^2 \right)
\end{align*}
$$
откуда
$$
\left|\left \langle \psi_0 \middle| \phi_0 \right \rangle\right|^2 \geqslant \frac{E_1 - \left \langle \phi_0 \middle| \hat {\mathcal H} \middle| \phi_0 \right \rangle }{E_1 - E_0}.
$$

Но я хоть и сова, но слишком уж поздно, пойду потом досоображаю, как это сюда применить. Кажется, это то, чего хотелось бы, но с другой стороны нужно значение $E_1$; если вместо него брать вариационную оценку, чтобы добраться до $E_2$ и так далее, то накопится ошибка большая, верхнее состояние уж сильно плохо сосчитается, наверное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group