Фишер и чай. Какое пространство событий адекватно задаче?

[provincialka]

Читаю научно-популярную книгу про истории медицины (с характерным названием "0,05. Доказательная медицина"). Прекрасная книга, много конкретных примеров как из давней, так и из современной истории. Но вопрос не об этом.

Среди прочего там описан случай, который, видимо породил идею проверки гипотез и появление сакраментального коэффициента "0,05". Рональд Фишер, тогда ещё начинающий математик, поспорил с дамой, которая утверждала, что может различить два способа наливания чая: молоко в чай или чай в молоко. Для проверки они провели "контролируемый эксперимент". А именно, подготовили 8 чашек, в половину налили сначала чай, в остальные -- сначала молоко. И подавали в случайном порядке.

Почему 8, спросите вы? Я попробовала ответить на этот вопрос. Пусть налито n чашек. Нулевая гипотеза состоит в том, что вероятность угадывания равна 0,5 (успех полностью случаен). Рассмотрим самую "жёсткую" критическую область: нулевая гипотеза отвергается, только если человек угадал все чашки. Вероятность этого равна $1/2^n$. Для $n=6,7,8$ эта вероятность равна $0,016; 0,008; 0,0035$ соответственно. Число $0,05$ не разделяет эти вероятности.
Ослабим жесткость критерия. "Разрешим" угадывающему одну ошибку. Вероятность случайно угадать $n$ или $n-1$ чашек равна, соответственно, $0,11; 0,063; 0,035$. Мы видим, что для $n=7$ вероятность больше 5%, а при $n=8$ -- меньше.

Я решила, что разгадала ход мыслей Р.Фишера. Не тут-то было! Его расчет, если верить книге, был другим. Пусть у нас есть $2n$ чашек, половина налита одним способом, половина -- другим. Тогда общее количество комбинаций (перестановок чашек) равно $C_{2n}^n$, то есть 20 для $n=3$ и 70 для $n=4$. Мы видим, что для трех пар чашек вероятность случайно угадать всё равна 5%, а вот для 4 пар -- меньше это границы.

Собственно, тут и возникает вопрос: какой из двух методов подсчета вероятности верный? Какое пространство событий отражает реальное соотношение частот?

(Оффтоп)

Наверное, я бы и сама разобралась... Но что-то меня административные обязанности душат ))) так что приношу свои извинения за тривиальный вопрос

[mihaild]

Есть книга The Design of Experiments самого Фишера. Там указано, что задача - разделить 8 чашек на 2 группы по 4, и считается именно вероятность правильно разбить 6 чашек на 2 группы по 3, 8 на 2 группы по 4 и 8 на 2 группы по 4 с одной ошибкой. Так что Фишер явно использовал второй вариант.
(и ИМХО было бы странно использовать первый, зафиксировав количество чашек каждого вида)

[provincialka]

А! Я так и думала, что в популярной книжке не совсем корректно описали задачу.

(Далее буду для краткости писать "угадать чашку" вместо "угадать последовательность заполнения чашки")

Но честно говоря, все равно странно... Эта дама получала чашки по очереди, пробовала, и говорила своё мнение. Пусть никакой разницы во вкусе чая нет, тогда вероятность угадать каждую чашку равна 1/2, независимо от того, сколько каких чашек налили...

А! у меня появилась идея. Если дама знала, что чашек 4 + 4, то, скажем, сообщив, что в 6 чашках был "чай, молоко, чай, чай, молоко, чай" она не будет больше говорить "чай", даже если ей так и покажется!

То есть стратегия "незнайки" такова: случайно говорить "чай" и "молоко", но не превышая нормы в 4 чашки. Замысловато!

Кстати, при таком алгоритме она не сможет ошибиться 1 раз! Если был "ложноположительный ответ" "чай", то должен быть и "ложноотрицательный" "молоко"... И вообще не может быть нечетного числа ошибок.

Если же дама не считает ответы, а просто отвечает каждый раз независимо, то вероятность безошибочного ответа будет все-таки 1/256, а не 1/70.

[svv]

(Оффтоп)

provincialka, а чем закончилась та проверка, дама выиграла спор?

[mihaild]

Фишер писал(а):

Our experiment consists in mixing eight cups of tea, four in one way and four in the other, and presenting them to the subject for a judgement in a random order. The subject has been told in advance of that the test will consists, namely that she will be asked to taste eight cups, that these shall be four of each kind, and that they shall be presented to her in a random order, that is in an order not determined arbitrarily by human choice, but by the actual manipulation of the physical apparatus used in games of chance, cards, dice, roulettes, etc., or, more expeditiously, from a published collection of random sampling numbers purporting to give the actual results of such manipulation. Her task is to divide the 8 cups into two sets of 4, agreeing, if possible, with the treatments received.

Так что да, просят угадать подмножество из 4х элементов, что существенно проще, чем если просят угадать произвольное подмножество.

[svv]

mihaild в сообщении #1431520 писал(а):

Her task is

Так не мучьте ж, чем закончилась проверка?

[mihaild]

svv в сообщении #1431521 писал(а):

чем закончилась проверка?

В книге этого нет. В английской вики со ссылкой на другой источник написано, что удалось отличить всё правильно, но найти текст этого источника мне за 5 минут не удалось.

[svv]

Удивительно!
Я могу понять ещё, можно отличить химика, наливавшего кислоту в воду, от лившего воду в кислоту...

[arseniiv]

Ну восемь чашек это ерунда, по-моему. Тут всё ещё есть шанс угадать. Кроме того опыт могли поставить не совсем число, следы какие-нибудь на чашках оставить, или не перемешать чай, или не дать чашкам прогреться равномерно, или ещё что-то. В результате интуиция могла подсказывать не на основе вкуса чая, а на основе других незаметных ни пригавливающим чай, ни проверяющей.

Хотя могут быть какие-то хитрые реакции, если молока достаточно много, но чая больше и чай сильно горяч: если вливаешь молоко не слишком быстро, первые порции могут прогреться как следует и принять такой кипячёно-молочный вкус, для которого не обязательно кипятить молоко, а только сделать горячим (я так растворимое какао делаю: хотя можно брать холодное молоко, с горячим, даже если потом остужать холодной водой, вкус значительно другой, более мне привычный). А если лить чай в молоко, и не очень аккуратно, оно будет греться одновременно всё и может не дойти до кондиции. Тут нужно, чтобы итоговая температура чая с молоком была ниже той, при котором его вкус значительно быстро меняется.

-- Пн дек 23, 2019 01:03:22 --

Это конечно если молоко не было сразу взято кипячёное или вот так достаточно погретое. Как предписывают чайные традиции там, я не знаю. Себе лью холодное, чтобы как раз остудить чай.

[B@R5uk]

(Оффтоп)

Где-то читал или слышал, что молоко, добавленное в чай, убивает напрочь все его полезные свойства. Я так понимаю, белки молока связывают и блокируют что-то в нём, что делает чай чаем. Хотя раньше сам любил чай с молоком.