2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойство начального отрезка натурального ряда
Сообщение09.12.2019, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Размышления по мотивам школьной задачки.
Возьмём множество первых $2n$ натуральных чисел и выделим из него подмножество из $n$ чисел так, что оно не содержит в себе одновременно два числа, в сумме составляющие $2n+1$. Очевидно, можно получить $2^n$ различных подмножества.
Например: $\{1,2,3,4\}\to \{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}$. Посчитаем в каждом подмножестве сумму чисел и сумму квадратов чисел. В нашем примере это $3,7,4,6$ и $5,25,10,20$. С возрастанием $n$ суммы будут катастрофически повторятся по принципу Дирихле. И мы увидим, что если у двух подмножеств равны суммы чисел, то равны и суммы квадратов :!:
Пример: $\{1,2,...10\}\to \{1,2,5,7,8\},\{1,3,4,6,9\}$. Сумма в обоих подмножествах $23$, сумма квадратов $143$.
Это совсем несложно доказать с помощью формул сумм первых $2n$ натуральных чисел, а также их квадратов. Но не имеется ли тут более простого и основополагающего свойства чисел? Или просто тривиального и всем известного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство начального отрезка натурального ряда
Сообщение09.12.2019, 20:42 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
gris
Пусть $k+k' = S$, $S=2n+1$. В каждое подмножество мы включаем либо $k$, либо $k'$.
Но $k'^2-k^2 =(k'-k)(k'+k)=S(k'-k). $
Так что изменение суммы квадратов чисел в подмножестве прямо пропорционально изменению сумм чисел.
Так что это свойство не начального отрезка натряда, а любого набора пар с постоянной (в парах) суммой...
Видимо....

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство начального отрезка натурального ряда
Сообщение10.12.2019, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


05/12/09
1760
Москва
Последовательность Морса-Туэ.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group