2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 "Disentanglement theorem" для алгебры su(1,1)
Сообщение22.11.2019, 15:25 
Заслуженный участник


29/12/14
504
В квантовой оптике есть утверждение, носящее имя "disentanglement theorem", которое заключается в следующем:

Рассмотрим алгебру $\mathfrak{su}(1,1),$ генераторы которой удовлетворяют
$$
[K_1,K_2] = -i K_3, \quad [K_2,K_3] = i K_1, \quad [K_3,K_1] = i K_2.
$$
Введём также обозначение $K_{\pm} = K_1 \pm i K_2,$ так что
$$
[K_3,K_{\pm}] = \pm K_{\pm}, \quad [K_{+},K_{-}] = -2 K_0.
$$
Тогда
$$
\exp\left(-2i K_2 r\right) = \exp\left(-\tanh(r) K_{+}\right) \exp\left\lbrace\left[\ln\left(1 - \tanh^2(r)\right) \right] K_3\right\rbrace \exp \left(\tanh(r) K_{-} \right).
$$

Я знаю, как доказать это утверждение в матричном представлении, но, по идее, оно должно выполняться в любом представлении $\mathfrak{su}(1,1).$ Можно ли как-то доказать это утверждение, используя лишь коммутационные соотношения?

Вот моя попытка:

Пусть $\left[X,Y\right] = u X + v Y + c I$, тогда, согласно arXiv:1501.02506 [math-ph],

$$
\mathrm{e}^{X} \mathrm{e}^{Y} = \exp\left\lbrace X + Y + f(u,v)\left[X,Y\right]\right\rbrace,
$$
где
$$
f(u,v) = \frac{(u-v)\,\mathrm{e}^{u+v} - \left(u\, \mathrm{e}^{u} - v\, \mathrm{e}^{v}\right)}{uv\left(\mathrm{e}^{u}- \mathrm{e}^{v}\right)}.
$$
В частности, если $\left[X,Y\right] = v Y$, то
$$\mathrm{e}^{X} \mathrm{e}^{Y} = \exp\left(X + \frac{v}{1 - e^{-v}} Y\right), \eqno (\ast)$$
и аналогично, если $\left[X,Y\right] = u X$,
$$\mathrm{e}^{X} \mathrm{e}^{Y} = \exp\left(Y + \frac{u}{1 - e^{-u}} X\right).$$

Вернёмся опять к
$$A \equiv \mathrm{e}^{-\tanh{(r)}K_+}\,\mathrm{e}^{K_3[\log(1-\tanh^2(r))]}\,\mathrm{e}^{\tanh(r)K_-}
$$
и введём следующие обозначения:
$$a = \tanh{(r)}, \quad b = \log(1-\tanh^2(r)),
$$
так что
$$A 
=
\mathrm{e}^{-a K_{+}} \mathrm{e}^{b K_3} \mathrm{e}^{a K_{-}}.$$
Далее,
$$\left[b K_3, a K_{-}\right] 
=
-ab K_{-} \ \stackrel{(\ast)}{\longleftrightarrow} \ X = b K_3, \ Y = a K_{-}, \ v = -b,$$
откуда
$$A = \exp\left(-a K_{+}\right) \exp\left(b K_3 - \frac{a b}{1 - \mathrm{e}^b} K_{-}\right).
$$

И тут я надеялся опять увидеть, что коммутатор даёт линейную комбинацию, однако
$$
\left[-a K_{+},b K_3 - \frac{a b}{1 - \mathrm{e}^b} K_{-}\right]
=
a b K_{+} - \frac{a^2 b}{1 - \mathrm{e}^b} K_3,$$
что у меня выразить в виде
$$u\left(-a K_{+} \right) + v \left(b K_3 - \frac{a b}{1 - \mathrm{e}^b} K_{-}\right),$$
не получается, даже используя связь между $a$ и $b$. Я ещё пробовал изначально разбить произведение на два "подпроизведения", то есть
$$A 
=
\mathrm{e}^{-a K_{+}} \mathrm{e}^{b K_3/2}  \mathrm{e}^{b K_3/2} \mathrm{e}^{a K_{-}},$$
вычислить "левый и правый куски", а потом уже посчитать их произведение, но тоже какая-то фигня получается...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Disentanglement theorem" для алгебры su(1,1)
Сообщение25.11.2019, 12:47 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Gickle в сообщении #1427188 писал(а):
Я знаю, как доказать это утверждение в матричном представлении, но, по идее, оно должно выполняться в любом представлении $\mathfrak{su}(1,1).$ Можно ли как-то доказать это утверждение, используя лишь коммутационные соотношения?
Пусть $F:G\to H$ гомоморфизм групп Ли, $f:g\to h$ -- соответствующий гомоморфизм алгебр Ли (то есть $f=dF(1)$). Тогда $F(\exp x)=\exp f(x)$ для любого $x$ из $g$ (это следует из единственности однопараметрической подгруппы с заданным касательным вектором в единице). Поэтому достаточно доказать для какого-нибудь точного представления, а это вы говорите, что умеете.

Кстати, $SU(1,1)$ изоморфна $SL(2,\mathbb R)$, и поэтому вещественная алгебра Ли $su(1,1)$ изоморфна $sl(2,\mathbb R)$, а её комплексификация, соответственно, изоморфна комплексной алгебре $sl(2,\mathbb C)$ -- алгебре углового момента.

-- 25.11.2019, 13:59 --

Здесь $\exp$ обозначает экспоненциальное отображение алгебры Ли какой-то группы Ли в эту группу Ли. Для подгрупп групп $GL(n,\mathbb R)$ и $GL(n,\mathbb C)$ это обычная матричная экспонента.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group