2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение четвёртой степени с простым параметром.
Сообщение21.10.2019, 15:27 


03/03/12
1380
Требуется выяснить, при каких значениях параметра существует решение в положительных натуральных числах в уравнении:
$$c^4-4c^3=pb^2$$
$(p)$-простой параметр.
Мои попытки решения:
Предположим, что $b=kc$. Надо доказать, что при любом $(p)$ существует решение или найти контрпример. Если контрпример существует, то надо искать другой способ решения (но в любом случае меня интересует этот способ).
$c^2-4c=pk^2$
$c=2\pm\sqrt{4+pk^2}$
$q^2-pk^2=4$

Теперь надо доказать, что при любом $(p)$ существует $(q;k)$ или найти контрпример.
Как доказать, не знаю. Проверяю на Вольфраме. Но надо найти приличное $(p)$ (если оно существует), начиная с которого решение не существует. Прошу помочь его найти.

Далее хочу выяснить, почему нельзя положительный результат, если он имеет место, экстраполировать в уравнении $q^2-pk^2=4$ на натуральные числа. Ещё далее, сравнить эту задачу с другой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвёртой степени с простым параметром.
Сообщение21.10.2019, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1870
Санкт-Петербург
TR63 в сообщении #1421844 писал(а):
Теперь надо доказать, что при любом $(p)$ существует $(q;k)$ или найти контрпример.

Возьмите четные $q,k$, тогда дело сводится к классическому Пеллю, который разрешим всегда. Нечетные $q,k$ могут быть если $p\equiv 5 \mod 8$, но не всегда. Например для $p=37$ нечетных решений нет.
Исправлено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвёртой степени с простым параметром.
Сообщение21.10.2019, 22:08 


03/03/12
1380
Andrey A в сообщении #1421900 писал(а):
Возьмите четные $q,k$, тогда дело сводится к классическому Пеллю, который разрешим всегда.

Andrey A, точно. Спасибо. (У меня, видно, взгляд замылился, что я этого не заметила; щёлкаю на Вольфраме, исходя из гипотетических соображений, которые в данном случае подтвердились, благодаря Вашей подсказке; теперь можно будет двигаться дальше.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение четвёртой степени с простым параметром.
Сообщение23.10.2019, 10:20 


03/03/12
1380
Теперь хочу сравнить исходную задачу с другой (из "Олимпиадного раздела"; обобщение).
Задача.
Требуется выяснить, существует ли $n\in N$, при котором уравнение
$$c^4-c=nb^2$$
имеет решение в натуральных числах.
Тот факт, что при простых $(n;b;c)$ решений не существует, доказывается просто. Уже имеем отличие с исходной задачей (некоторые детали пропускаю). Возникает вопрос: можно ли экстраполировать результат на натуральные числа. Думаю, что "да". Но нужно аналитическое обоснование или контрпример.
Мои попытки решения.
При $n=1$ получилось, что натуральных решений нет. Далее уравнение можно переписать в виде
$(c^4-c)+(c^2-c)=(n-1)b^2+b^2$
1). $c^2-c=(n-1)b^2-x$
$c_1+c_2=1$
2). $c^4-c^2=b^2+x$
$c_3^2+c_4^2=1$
$(c_1;c_2;c_3;c_4)$ корни уравнения $c^4-c=nb^2$. Верно? Если верно, то дальше просто. Если "нет", то надо искать другой аналитический путь, или экспериментально искать контрпример.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group