2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Четыре треугольника
Сообщение16.10.2019, 16:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Хочу четыре треугольника с целочисленными сторонами, из которых (изо всех 12 сторон, то есть) никакие не совпадают. И притом чтобы из этих треугольников, тем не менее, можно было сложить один треугольник, тоже с целыми сторонами.

Можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение16.10.2019, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
то есть итоговый треугольник разбивается на четыре треугольника, у которых нет общих сторон. без бумажки не могу представить. а бывает такое? только если маленький треугольничек совсем внутри.
вот конструкция в обычной системе координат: $\triangle OAB: (0,0),(0,4),(3,0). \triangle OCD: (0,0),(0,-9),(40,0). $
Теперь на луче $BA$ поставим точку $E$ подальше, так, чтобы $|BE|$ была целой. Уже десять целых разных сторон. Будем двигать точку $E$ в надежде на теорему косинусов. Косинусы хорошие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение16.10.2019, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Как-то так:
Изображение

-- Ср окт 16, 2019 21:28:40 --

У меня смутное ощущение, что можно выбрать достаточно произвольно 5 различных острых углов $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\beta_1$, $\beta_2$, $\gamma_1$, синусы и косинусы которых рациональны, так, чтобы их сумма была меньше $\pi$, у шестого угла $\gamma_2=\pi-(\alpha_1+\alpha_2+\beta_1+\beta_2+\gamma_1)$ тоже автоматически будут рациональными синус и косинус. Так вот, есть ощущение, что если две стороны большого треугольника взять рациональными, то третья и все остальные нужные расстояния тоже окажутся рациональными.
Осталось проверить нарисованное алгеброй. Но я что-то пока пас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение16.10.2019, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Ну-с, у кого будет наименьший?

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение17.10.2019, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Ага. Теперь наименьший понадобился. Потом потребуете из простых чисел :-)
Вот: $(3,4,5),(17,144,145),(23,140,159),(18,20,34)\to (34,145,159)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение17.10.2019, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Всё, я удовлетворён. Это уже лучше, чем у меня был.
Был такой: $({\color{red}27},{\color{green!50!black}36},{\color{blue}45}), ({\color{red}104},{\color{green!50!black}78},130),(222,{\color{green!50!black}114},{\color{blue}120}), ({\color{red}77},220,{\color{blue}165})\to(130,220,222)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение17.10.2019, 12:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Как вам такое?
Изображение

-- Чт окт 17, 2019 14:32:47 --

Возможно, вы сочтёте это читерством, но тут я отказался от требования рациональности синусов, или, что то же самое, площадей (хотя раньше сам про это писал, но ведь в условии этого нету).

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение17.10.2019, 13:57 
Аватара пользователя


01/11/14
1647
Principality of Galilee
ИСН
А Вы допускаете целочисленный треугольник со сторонами, скажем, $5, 5, 0$ ? Ну, хотя бы один из четырёх? А? Ну пожалуйста!
Вроде в условии о невырожденности речи не было. Если допускаете, то можно такой минимальный забацать, что пальчики оближете!

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение17.10.2019, 14:05 
Аватара пользователя


14/12/17
1471
деревня Инет-Кельмында
Gagarin1968
Ну не, такой будет вразрез с определением "три точки не лежащие на одной прямой и т.д.". Лучше наверное говорить про разбиение на 3 треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение17.10.2019, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
worm2 Красота!
Gagarin1968 Вырожденные я уже имплицитно запретил требованием различности сторон :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение18.10.2019, 12:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А вырожденные, которые не противоречат различности сторон, нельзя?
мне интересно, что хотел "забацать" Gagarin1968.
пред(по)ложу: $(1,8,9),(2,10,12), (3,4,7),(5,6,11)\to (5,7,12)$.
Уж меньше нельзя :-) Но можно ли вообще рассматривать такую фигуру "вырожденный треугольник"? Ведь $(2,3,5)$ и $(1,4,5)$ можно совместить движением, но как треугольники они не равны. Хотя у Погорелова такое бывает.
Это всё пятничная шутка, конечно.
А вот картинка worm2 вызывает надежду, что решение можно получить без большого перебора. Если отталкиваться от центрального треугольника, то косинусы его углов будут рациональны и равны по модулю косинусам тупых углов. Для целочисленности квадратов внешних сторон нужно, чтобы знаменатели косинусов сокращались. То есть можно попробовать предложить удлиннения. Ну и дальше, чтобы квадраты были точными. С египетским треугольником пришлось таки звать компьютер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Четыре треугольника
Сообщение18.10.2019, 23:52 


07/06/17
983
Вроде бы, отталкиваясь от любого треугольника (со сторонами 2, 3, 4, например), можно построить его "окружение" из треугольников, с ограничениями, наложенными ТС. "Окружение" в виде опять-таки треугольника.
Интересно, этот процесс можно продолжать до бесконечности?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group