2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 17:09 


30/05/19
45
Ну хорошо, допустим мы выяснили, что множество рациональных чисел имеет дырки, не обращаясь к конкретным примерам.
Допустим мы ввели концепцию сечения Дедекинда, определили, что такое иррациональное число.
Но как доказать, что множество всевозможных сечений - является множеством точек на оси и заполняет всю ось без дырок?
То есть как доказать, что точке соответствует одно сечение, а одному сечению - одна точка?
Что, если одно сечение определяет не одно число, а некоторое множество?
К примеру сечение $(-\infty,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$ определяет не $\sqrt{2}$, а некоторую сущность $\left\lbrace\sqrt{2}-\varepsilon,\sqrt{2}+\varepsilon\right\rbrace$.
Под символом $\left\lbrace a-\varepsilon,a+\varepsilon\right\rbrace$ - подразумевается некоторая сущность, не являющаяся ни отрезком, ни интервалом, а является неким множеством - микроконтинуумом, не содержащим рациональных чисел.
И вот иррациональное число отождествляется с точкой на оси, и мы думаем что заполнили все точки на оси, а на самом деле мы пропустили бесконечное множество точек микроконтиннуума.
Можете ли вы гарантировать, что не существует никакого геометрического парадокса, который заставит ввести такие множества типа микроконтинуума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 17:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mihaild в сообщении #1415959 писал(а):
Воспользуйтесь счетностью множества рациональных чисел -

Ни в коем случае. Счётность не имеет ни малейшего отношения к вещественности -- если говорить только об определении последней. Дедекиндовы же сечения -- ровно об её определении.

-- Чт сен 19, 2019 18:19:16 --

Eugene567 в сообщении #1415981 писал(а):
Но как доказать, что множество всевозможных сечений - является множеством точек на оси и заполняет всю ось без дырок?

Никак, если не прибегнуть к помощи Блока, Пастернака или на худой конец Быкова. "Ось" -- не более чем лирика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 17:40 


17/08/19
246
Eugene567 в сообщении #1415981 писал(а):
То есть как доказать, что точке соответствует одно сечение, а одному сечению - одна точка?
Что, если одно сечение определяет не одно число, а некоторое множество?
Вы торопитесь и смешиваете все в кучу: точки, числа, сечения в $\mathbb{R}$, сечения в $\mathbb{Q}$. Я Вас уже спрашивал: что такое действительное число?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 17:43 


30/05/19
45
Действительное число - это сечение в множестве рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8340
Цюрих
ewert в сообщении #1415985 писал(а):
Счётность не имеет ни малейшего отношения к вещественности -- если говорить только об определении последней
Вопрос был не про вещественность, а про неполноту (существование сечений рациональных чисел, не задающих никакое рациональное число). Для этого можно показать, что любое счетное упорядоченное поле неполно.
Eugene567 в сообщении #1415981 писал(а):
Но как доказать, что множество всевозможных сечений - является множеством точек на оси и заполняет всю ось без дырок?
А что такое "ось"?
В рациональных числа бывает такое, что всё либо слева, либо справа, а "под ногами" ничего нет (=существуют сечения, не задаваемые никаким рациональным числом). В вещественных числах так не бывает (и это доказывается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 17:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1416012 писал(а):
Для этого можно показать, что любое счетное упорядоченное поле неполно.

Это дело известное: гвозди забивать микроскопом, естественно, можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8340
Цюрих

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1416014 писал(а):
Это дело известное: гвозди забивать микроскопом, естественно, можно.
А как еще показать неполноту рациональных чисел, не используя конкретного иррационального числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 18:07 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1416018 писал(а):
А как еще показать неполноту рациональных чисел, не используя конкретного иррационального числа?

А это к вопросу о том, нафига вообще вещественные числа. Исключительно для того, чтобы выполнялась аксиома полноты/непрерывности -- в каком угодно варианте (пусть даже в виде принципа вложенных отрезков, неважно).

Ну так и в любом варианте корень из двух будет вполне достаточной иллюстрацией. Которую с пользой для дела можно даже и усилить: а с какой стати мы вообще считаем, что корень существует?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение19.09.2019, 20:07 


17/08/19
246
Eugene567 в сообщении #1416010 писал(а):
Действительное число - это сечение в множестве рациональных чисел.
Под сечениями Вы понимаете
Eugene567 в сообщении #1415889 писал(а):
Итак сечение Дедекинда - это такое разбиение множества рациональных чисел на два подмножества $A$ и $B$,
называемых классами, такие что любое рациональное число из $A$ меньше любого рационального из $B$,
и каждое рациональное число попадает в один из классов.
(Вы слово "непустых" пропустили)
Рассмотрим сечение $(A, B)$ в области рациональных чисел, где $A = \{x| x < 1\}$, $B = \{x| x \geqslant 1\}$ и сечение $(A', B')$ в области рациональных чисел, где $A = \{x| x \leqslant 1\}$, $B = \{x| x > 1\}$. Нетрудно убедится, что это действительно сечения, при том они не являются тождественными. Если определить множество действительных чисел как множество сечений в области рациональных чисел (то, как Вы предлагаете), то числа $(A, B)$ и $(A', B')$ - различные действительные числа. Затем в этом множестве надо будет определить операции сложения и умножения. Как Вы определите эти операции? Будет ли это множество с операциями, которые Вы на нем определите, упорядоченным полем? Какое из чисел $(A, B)$ и $(A', B')$ будет нейтральным элементом по умножению и почему? Может быть стоит более точно сформулировать определение множества вещественных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение20.09.2019, 00:40 


17/08/19
246
Чтобы не возникли недопонимания терминологического характера, отмечу, что под сечением я буду понимать то определение, которое привел ТС в стартовом сообщении (с оговоркой о непустоте множеств).

Раз уж речь зашла про построение вещественных чисел следуя Дедекинду, то стоит сказать пару слов о его теории. Дедекинду присваивают создание перовой строгой теории вещественных чисел, но на мой взгляд, его заслуга не столько в этом, сколько в рассмотрении самой сущности того понятия, которое мы называем непрерывностью, говоря о каком-либо линейно-упорядоченном множестве. До него было принято руководствоваться геометрическими соображениями: под непрерывностью понимали то, что присуще прямой линии. Понятно, что никакой строгости при таком подходе и близко нету. Дедекинд понял, что идея непрерывности к прямой не привязана. Он предложил считать линейно упорядоченное множество непрерывным тогда и только тогда, когда любое сечение этого множества всегда замкнуто ровно с одной стороны (по простому: когда нету "скачков" и "пробелов").

Теперь по поводу вещественных чисел. Да простит меня Кронекер, числа не даны нам Богом. Мы их придумываем сами, чтобы описывать окружающие нас явления и решать поставленные перед нами задачи. Числа - это всего лишь модели. Хотим считать кабанов - нам даже натуральных чисел много. Хотим поделить три кабана на пять человек - нужны рациональные числа. Хотим посчитать максимально возможную годовую прибыль при 100% годовых и максимальной частоте капитализации процентов, нужны вещественные числа. Хотим брать сложные интегралы (что само по себе является задачей вещественного анализа) - нужны комплексные числа. Вообще, это непраздный вопрос: являются ли вещественные числа наилучшей моделью для описания задач, которые они собственно описывают. Может быть можно придумать какие-то другие числа, которые лучше описывают, например, задачи, связанные с физической реальностью? В любом случае, это не вопросы матана. Вот есть у нас рациональные числа. Все на первый взгляд прекрасно: они замкнуты относительно четырех основных операций, интуитивно понятны - красота. А на второй взгляд уже не так прекрасны: даже простейших корней нету. Вспоминаем Дедекинда и видим, что рациональные числа не обладают тем, что мы называем непрерывностью. И нам оказывается их мало. Что мы хотим? Мы хотим иметь какое-то линейно упорядоченное поле, которое было бы непрерывным. Если хотим - пусть будет :-) Сформулируем список требований (аксиом) и дело в шляпе. Вот только надо сделать еще парочку действий. Во-первых, нужно собственно такой набор объектов, с определенными на них операциями, предоставить (непротиворечивость). Во-вторых, надо убедиться, что полученная система аксиом категорична, т.е. все модели ею определяемые будут изоморфны. Второе в курсах анализа обычно не делают, но это можно принять на веру (и доказать в курсе алгебры): нам повезло, система аксиом непрерывного линейно-упорядоченного поля категорична. А вот первое надо бы сделать.

И тут начинаются странные (лично для меня) вещи. Я уже не первый раз замечаю, что вещественные числа отождествляют с сечениями в области рациональных, что имхо не очень правильно. То, что в области рациональных чисел существуют сечения типа "пробел" говорит о том, что рациональные числа не являются непрерывными. То, что в области вещественных чисел любое сечение всегда замкнуто с одной стороны и открыто с другой, говорит о непрерывности вещественных чисел. Но почему мы стали вдруг считать, что те объекты, из которых состоит наше непрерывное упорядоченное поле, это сами сечения? Сечения - это лакмусовая бумажка непрерывности. Почему их стали отождествлять с самими вещественными числами? Объекты поля могут быть любыми, главное чтобы они вместе с операциями существовали и удовлетворяли аксиомам непрерывного упорядоченного поля. Можно ли в качестве объектов взять все сечения в области рациональных чисел? Наверное можно, только придется хорошо подумать, как определить операции. А можно взять не все сечения, а только те, у которых нижний класс открыт. И тогда операции будет определить проще. А можно вообще брать не сечения, а такие множества $M$:
1. $M \subset \mathbb{Q}$, $M \ne \varnothing$, $M \ne \mathbb{Q}$
2. $\forall p, q \in \mathbb{Q}, p < q: q \in M \Rightarrow p \in M$
3. в $M$ нет наибольшего числа.

Я подозреваю, что корни такой трактовки растут из нулевой главы первого тома в трехтомнике Фихтенгольца (которая называется "Введение. Вещественные числа").
Фихтенгольц писал(а):
Не вводя для иррациональных чисел никаких однотипных обозначений, мы неизменно будем связывать иррациональное число $\alpha$ с тем сечением $A|A'$ в области рациональных чисел, которое его определяет. Для однообразия нам часто удобно будет то же сделать и по отношению к рациональному числу $r$. Но для каждого числа $r$ существует два определяющих его сечения: в обоих случаях числа $a < r$ относятся к нижнему классу, числа же $a' > r$ - к верхнему, но само число $r$ можно по произволу включить либо в нижний класс (тогда $r$ там будет наибольшим), либо в верхний (и $r$ там будет наименьшим). Для определенности мы условимся раз навсегда, говоря о сечении, определяющем рациональное число $r$, включать это число в верхний класс.
Я считаю, что необходимо строго различать сечения как объекты непрерывного упорядоченного поля и сечения, как инструмент, которым мы пользуемся, когда мы хотим понять, является ли множество непрерывным. У Фихтенгольца это различие стерто. Где-то в этом месте и возникло непонимание у ТС-а. Не удивлюсь, если ТС читает про сечения у Фихтенгольца.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение20.09.2019, 07:41 


30/05/19
45
Да, действительно про сечения я читаю у Фихтенгольца.
Но вот непонятно, как вы доказываете непрерывность вещественных чисел.
Так же непонятно как доказать что геометрическая прямая заполнена.

-- 20.09.2019, 08:52 --

Как доказать что сечение Дедекинда вида: $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$ определяет только одно число a (именно как одну точку)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение20.09.2019, 08:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8340
Цюрих
Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):
Так же непонятно как доказать что геометрическая прямая заполнена.
Что вы понимаете под геометрической прямой? Она часто определяется как множество вещественных чисел.
Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):
Но вот непонятно, как вы доказываете непрерывность вещественных чисел.
Неужели у Фихтенгольца нет этого доказательства? Возьмите какое-нибудь доказательство (у Фихтенгольца если есть, если нет - то например у Рудина) и напишите, что в нем непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение20.09.2019, 12:11 


17/08/19
246
Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):
Но вот непонятно, как вы доказываете непрерывность вещественных чисел.
Вы мне так и не ответили, какие объекты Фихтенгольц считает вещественными числами. Сложно рассуждать о непрерывности множества, про элементы которого Вы ничего не говорите :-) Тогда скажу я. Фихтенгольц определяет множество вещественных чисел как множество всех сечений в области рациональных чисел, у которых в нижнем классе нету наибольшего элемента. Вещественное число (по Фихтенгольцу) - это не какая-то неведомая точка "оси", это вполне конкретный объект - сечение в $\mathbb{Q}$ с открытым нижним классом. Понятно, что нам нужно не просто множество, а алгебраическая структура. Для этого надо определить две операции: сложение и умножение. Еще надо определить порядок. Только после того, как Вы все это сделаете, можно будет поговорить о непрерывности этого множества.


Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):
Как доказать что сечение Дедекинда вида: $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$ определяет только одно число a (именно как одну точку)?
Вы хотели спросить: "Как доказать, что сечение Дедекинда в области рациональных чисел типа "пробел" определяет только одно вещественное число $a$?" Постарайтесь для таких сечений не употреблять форму записи с объединением интервалов, потому что непонятно, про какие интервалы идет речь: в $\mathbb{Q}$ или в $\mathbb{R}$. Если в интервалы в $\mathbb{Q}$, то что такое $a$? Если интервалы в $\mathbb{R}$, то это не сечение. Ответ на этот вопрос прост: по определению. Сечение в $\mathbb{Q}$ типа "пробел" не имеет наибольшего элемента в нижнем классе, значит является вещественным числом по определению множества вещественных чисел, как множества всех сечений в $\mathbb{Q}$, у которых нету наибольшего элемента в нижнем классе :-)


Про
Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):
Так же непонятно как доказать что геометрическая прямая заполнена.
и
Eugene567 в сообщении #1416138 писал(а):
(именно как одну точку)
поговорим после того, как Вы разберетесь сначала с операциями и порядком, а затем с непрерывностью вещественных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение20.09.2019, 12:36 


01/10/16
24
Цитата:
Что если я сделаю так:
Невидимое сечение - это такое разбиение множества действительных чисел на два подмножества $A$ и $B$,
называемых классами, такие что любое действительное число из $A$ меньше любого действительного из $B$,
и каждое действительное число попадает в один из классов.
Далее утверждается, что существуют следующие типы сечений:
1. $(-\infty,a]\cup(a,+\infty)$
2. $(-\infty,a)\cup[a,+\infty)$
3. $(-\infty,a)\cup(a,+\infty)$
В последнем случае говорится, что сечение определяет невидимое число $a$.
Невидимые числа нельзя представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, точно также как иррациональные нельзя представить в виде конечных. К нему можно приблизиться сколь угодно близко, точно также как к иррациональному можно приблизится за счет рациональных.

Вы имеете полное право так делать и таким образом ввести новый класс чисел - Невидимых. Более того, Вы имеете право на этом не останавливаться и пойти дальше, рассекая множество невидимых чисел и т.о. получить следующий класс чисел, назовем их Неосязаемые. Надеюсь Вы понимаете, что конца этому процессу не предвидеться, так как множество неосязаемых чисел тоже можно рассечь. Что бы остановить как-то этот бесконечный процесс, нужно вспомнить, что непрерывность включает в себя некий стопор, говорящий о том, что действительные числа расположены вплотную друг к другу, причем так плотно, что рассечь их невозможно.
Мы понимаем, что число не имеет размера, с другой стороны непрерывность говорит нам о плотном, без наличия промежутков, расположении чисел. Это аксиомы (или доказанные теоремы, если постулируется иное в этой же системе), на которых строиться весь анализ, да и вся математика и логика. Но есть проблема. Зададимся вопросом, на сколько нужно сместиться вправо или влево, что бы перейти от одного заданного числа к соседнему? Понятно, что смещение оказывается равным нулю, ведь число не имеет размеров и расположены числа вплотную друг к другу. Но если смещение равно нулю при переходе к соседнему числу, то и смещение к любому числу, в т.ч. и отстоящему (по величине) на бесконечность от заданного, равно нулю. Налицо явный парадокс.
Физики с этим столкнулись еще в прошлом веке при построении квантовой теории. Поэтому Р. Фейнман предположил наличие структуры у пространства - пространство квантовано. Существуют точки пространства, между которыми пространства нет. Поэтому Ваше предположение о наличии класса Невидимых чисел очень даже имеет право быть :D
А вот непрерывность прекрасно работает, хотя ее и нет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз о сечении Дедекинда.
Сообщение20.09.2019, 13:02 


17/08/19
246
Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):
Вы имеете полное право так делать и таким образом ввести новый класс чисел - Невидимых.
Третий пункт у ТС-а не является сечением.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):
Более того, Вы имеете право на этом не останавливаться и пойти дальше, рассекая множество невидимых чисел и т.о. получить следующий класс чисел, назовем их Неосязаемые.
Научите рассекать множество, которое даже не определено?

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):
Надеюсь Вы понимаете, что конца этому процессу не предвидеться, так как множество неосязаемых чисел тоже можно рассечь.
:facepalm:

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):
Что бы остановить как-то этот бесконечный процесс, нужно вспомнить, что непрерывность включает в себя некий стопор, говорящий о том, что действительные числа расположены вплотную друг к другу, причем так плотно, что рассечь их невозможно.
Вы путаете плотность и непрерывность. Это разные вещи. И еще. "Рассечь" действительные числа как раз таки можно. Сечения Дедекинда ровно об этом.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):
Мы понимаем, что число не имеет размера, с другой стороны непрерывность говорит нам о плотном, без наличия промежутков, расположении чисел.
Размер числа? Занимательно. И Вы опять смешиваете в одну кучу плотность и непрерывность.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):
Зададимся вопросом, на сколько нужно сместиться вправо или влево, что бы перейти от одного заданного числа к соседнему? Понятно, что смещение оказывается равным нулю, ведь число не имеет размеров и расположены числа вплотную друг к другу. Но если смещение равно нулю при переходе к соседнему число, то и смещение к любому числу, в т.ч. и отстоящему (по величине) на бесконечность от заданного, равно нулю. Налицо явный парадокс.
Налицо непонимание разницы между плотностью и непрерывностью.

Mr Tube в сообщении #1416161 писал(а):
А вот непрерывность прекрасно работает, хотя ее и нет!
Как может работать то, чего нет? :shock:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 71 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group