Об одном применении т. о замкнутом графике

[demolishka]

Пусть в банаховом пространстве $\mathbb{E}$ задан линейный ограниченный оператор $P$, т. е. $P \in \mathcal{L}(\mathbb{E},\mathbb{E})$. Предположим, что имеется другое банахово пространство $\mathbb{E}_{1}$, которое непрерывно вложено в $\mathbb{E}$. Будем отождествлять элементы $\mathbb{E}_{1}$ и $\mathbb{E}$ при этом вложении. Предположим наконец, что $Px \in \mathbb{E}_{1}$ при всех $x \in \mathbb{E}$. Тогда по теореме о замкнутом графике $P \in \mathcal{L}(\mathbb{E},\mathbb{E}_{1})$. Действительно, если $x_{n} \to x$ в $\mathbb{E}$ и $Px_{n} \to y$ в $\mathbb{E}_{1}$, то $Px_{n} \to Px$ в $\mathbb{E}$ (т. к. $P \in \mathcal{L}(\mathbb{E},\mathbb{E})$) и $Px_{n} \to y$ в $\mathbb{E}$ (в силу непрерывности вложения). Но тогда $Px = y$, что и требовалось.

Собственно вопрос (философский) вот в чем. Для меня этот факт кажется "бесплатным" усилением исходной ограниченности оператора $P$. Вот например, пусть $P$ переводит плохие функции (из $L^2$) в хорошие (соболевские $W^{1,2}$) ограниченно в $L^{2}$. Тогда он автоматически непрерывен как оператор $L^{2} \to W^{1,2}$. Удивительно ведь . Кажется, что все дело (помимо линейности и полноты конечно ) в возможности уложить образ в пространство с более сильной нормой (в смысле непрерывности вложения). Может кто получше объяснить эту "суть вещей"?