2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычисление одного интеграла
Сообщение01.02.2006, 14:52 


20/01/06
107
Кто поможет вычислить \int\limits_0^1 x^{10}\sin x^2 dx?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 15:52 


20/01/06
107
Capella писал(а):
Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.

А дальше? Там не так всё легко!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Capella писал(а):
Ну можно например сделать подстановку $ x^2 = y $ и проинтегрировать потом по частям.


После чего всё сведётся к интегралу Френеля $\mathrm C(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^x\frac{\cos y}{\sqrt{y}}dy=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int\limits_0^{\sqrt{x}}\cos t^2dt$, который через элементарные функции не выражается (Г.Бейтмен, А.Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. II. "Наука", Москва, 1974):
$$\int\limits_0^1x^{10}\sin x^2dx=\frac{1}{64}\left(945\sqrt{2\pi}\mathrm C(1)-1418\cos 1-1116\sin 1\right)$$.

Правка. Вставил $\sqrt{2\pi}$, который потерял при наборе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 16:03 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Мапл говорит такой ответ:
Код:
- 709/32*cos(1) - 279/16*sin(1) + 945/64*sqrt(2)*sqrt(Pi)*FresnelC(sqrt(2)/sqrt(Pi))

Судя по тому, что здесь присутствует интеграл Френеля, особо упростить не удастся.

 Профиль  
                  
 
 спасибо
Сообщение01.02.2006, 16:17 


20/01/06
107
спасибо

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
maxal писал(а):
Мапл говорит такой ответ:
Код:
- 709/32*cos(1) - 279/16*sin(1) + 945/64*sqrt(2)*sqrt(Pi)*FresnelC(sqrt(2)/sqrt(Pi))



Да, Mathematica 4.1 даёт такой же (в чуть более читаемой форме), причём, $\mathrm{FresnelC}(z)=\int\limits_0^z\cos\frac{\pi t^2}{2}dt=\mathrm C\left(\sqrt{\frac{\pi z^2}{2}}\right)$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 19:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Если нужен просто ответ, то моя Mathematica 5.0 дала мне разумеется такой-же. Тогда я решила посчитать (особо не рассчитывая на успех) на Texas Instruments Voyage 200 и, о чудо!, он выдал числовой ответ: 0.067508
Так что вот так :)

добавлено

Кстати, Математика выдаёт точно такой-же ответ, если в конце интеграла сделать приписку //N :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group