2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Наверное, в другой раздел надо было, но уж поместил.

Для любых двух векторов $u,v$ на евклидовой плоскости определим третий вектор равенством
$$
n_{u,v}=\left\{\begin{array}{ll}
u,&(u,v)>u^2\\
v,&(u,v)>v^2\\
w,&\text{\rm otherwise}\end{array}\right.,
$$
где $w$ -- вектор, с концом в основании высоты $OH$ треугольника, построенного на $u,v$.

Задача. Пусть три вектора лежат в полуплоскости (например, их ординаты строго положительны). Показать, что их можно так наименовать $a,b,c$, что выполняется неравенство $(n_{a,b},c)\ge n_{a,b}^2$.

Есть ли короткое изящное решение?

У меня получилось только "в лоб". Рассмотрим два вектора $u,v$ (для определенности $|u|\le |v|$) и третий вектор $p$, лежащий с ними в одной полуплоскости, для которого выполняется $(n_{u,v},p)<n_{u,v}^2$.
а) В случае $n_{u,v}=u$ и $n_{u,v}^2>(n_{u,v},p)$ выполнено $n_{u,p}^2\le (n_{u,p},v)$, то есть $c=v$.
б) В остальных случаях: если перпендикуляр к вектору $p$, проходящий через его конец, не пересекает векторов $u,v$, то в качестве вектора $c$ надо взять тот вектор из тройки $\{u,v,p\}$, который лежит между двумя другими; если перпендикуляр к вектору $p$, проходящий через его конец, пересекает один из векторов $\{u,v\}$, то в качестве вектора $c$ надо взять его (если пересекает оба, тогда любой, т.к. $n_{u,p}=n_{v,p}=p$).

Можно мысленно вращать вектор $p$ на картинке, меняя его длину. В случае $(u,v)>u^2$ как раз понадобится п.а).


Вложения:
triangle.png
triangle.png [ 8.77 Кб | Просмотров: 2123 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 10:06 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Ну не могу удержаться)

Заголовок топика звучит как начало анекдота. «Лежат три вектора в полуплоскости. И один другому говорит...». Дальше не придумал пока.

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 10:44 
Заслуженный участник


17/09/10
2132

(Оффтоп)

Aritaborian, начало бывшего в ходу анекдота звучит так: лежат в канаве Кочин, Кибель и Розе...

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 12:53 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alcoholist в сообщении #1410265 писал(а):
У меня получилось только "в лоб".
Ну, я бы тоже начал рассуждать прямолинейно. (Вот буквально сейчас хотел попробовать, но Вы уже свое решение написали.) А эта конструкция $n_{u,v}$ имеет какой-нибудь смысл (где-нибудь встречается)?

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 13:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
nnosipov в сообщении #1410301 писал(а):
А эта конструкция $n_{u,v}$ имеет какой-нибудь смысл (где-нибудь встречается)?

я встретил в ЛП

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 13:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alcoholist в сообщении #1410316 писал(а):
ЛП
Линейное программирование?

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 13:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
nnosipov
да... видно же "многогранники")

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 13:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alcoholist
Спасибо, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
alcoholist в сообщении #1410265 писал(а):
Для любых двух векторов $u,v$ на евклидовой плоскости определим третий вектор равенством
$$
n_{u,v}=\left\{\begin{array}{ll}
u,&(u,v)>u^2\\
v,&(u,v)>v^2\\
w,&\text{\rm otherwise}\end{array}\right.,
$$ где $w$ -- вектор, с концом в основании высоты $OH$ треугольника, построенного на $u,v$.

Немного подумав, формулируем геометрический смысл этого $\vec{n}_{\vec{u},\vec{v}}.$ Это вектор, проведённый к точке отрезка $[\vec{u},\vec{v}\,],$ ближайшей к началу координат.

alcoholist в сообщении #1410265 писал(а):
Задача. Пусть три вектора лежат в полуплоскости (например, их ординаты строго положительны). Показать, что их можно так наименовать $a,b,c$, что выполняется неравенство $(n_{a,b},c)\ge n_{a,b}^2$.
Есть ли короткое изящное решение?

Смысл неравенства типа $(\vec{u},\vec{v}\,)>\vec{u}\,^2$ в том, что мы проводим через конец вектора $\vec{u}$ перпендикулярную прямую (плоскость), и конец вектора $\vec{v}$ должен зайти за эту плоскость - быть дальше этой плоскости от начала координат.

Теперь очевидно, что можно в качестве $\vec{c}$ выбрать просто точку, самую дальнюю от начала координат.

(Условие полуплоскости означает, что начало координат не лежит внутри треугольника $[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\,].$)

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 15:58 
Аватара пользователя


31/08/17
2116

(Оффтоп)

scwec в сообщении #1410272 писал(а):
анекдота звучит так: лежат в канаве Кочин, Кибель и Розе...

это интересно, и?

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 16:10 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Оффтоп)

Это уже само по себе законченный вполне смешной анекдот. Хотя, если существует продолжение, хотелось бы услышать.

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 17:55 
Заслуженный участник


17/09/10
2132

(Оффтоп)

Если интересно, то дальше идут выразительные реплики лежащих по отношению к ударным волнам в канализационных трубах.

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 18:04 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли

(Оффтоп)

scwec, большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Munin в сообщении #1410358 писал(а):
Смысл неравенства типа $(\vec{u},\vec{v}\,)>\vec{u}\,^2$ в том, что мы проводим через конец вектора $\vec{u}$ перпендикулярную прямую (плоскость), и конец вектора $\vec{v}$ должен зайти за эту плоскость - быть дальше этой плоскости от начала координат.

Теперь очевидно, что можно в качестве $\vec{c}$ выбрать просто точку, самую дальнюю от начала координат.

Вот имеются три вектора $u,v,p$. Вы утверждаете, что в качестве $c$ всегда можно взять самый длинный?

 Профиль  
                  
 
 Re: три вектора лежат в полуплоскости
Сообщение14.08.2019, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А, нет. Вы правы, это я поспешил. Но сама задача выглядит просто: всегда из трёх прямых найдётся такая, что две точки (одна из данных и начало координат) окажутся от неё по разные стороны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group