2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Биекция между R и R^n?
Сообщение31.01.2006, 15:46 


12/12/05
61
существует ли такая биекция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Биекция между R и R^n?
Сообщение31.01.2006, 16:22 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
x0rr писал(а):
существует ли такая биекция?


Доказывается, что указанные множества равномощны, а значит биекция существует.

 Профиль  
                  
 
 апа
Сообщение31.01.2006, 17:22 


12/12/05
61
PAV
то есть явного вида биекции нет?
эта наверное такая же "кривая" биекция, как между Z и Q
кривая в смысле, что не изоморфизм: без сохранения некоторой алгебраической структуры

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 17:46 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Красивой биекции, похоже, не получится по объективным соображениям. Например, рассмотрим эти пространства как линейные над R. Тогда построить изоморфизм между ними невозможно, так как он должен сохранять размерность, а она у них разная.

 Профиль  
                  
 
 апап
Сообщение31.01.2006, 17:54 


12/12/05
61
получается, что с точки зрения Z в Q: Z - одномерно, а Q - двухмерно

 Профиль  
                  
 
 пр
Сообщение31.01.2006, 17:57 


12/12/05
61
а вот интересно сразу аналогия
одномерное это у нас что, это $\mathbb R$
а двухмерное - это $\mathbb C$
в противовес к
$\mathbb Z$
$\mathbb Q$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 17:59 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Ну, это аналогии, но особенного математического смысла я в них не вижу.

 Профиль  
                  
 
 rtr
Сообщение31.01.2006, 18:12 


12/12/05
61
а может быть там ввести "другую" алгебраическую операцию и другой инвариант (не размерность), сохраняющийся при изоморфизме
ведь всё-таки не зря Кантор придумал биекцию Z в Q
но это так, конечно вы правы, что пока особого математического смысла не предвидится

 Профиль  
                  
 
 Re: Биекция между R и R^n?
Сообщение31.01.2006, 18:21 


20/01/06
107
PAV писал(а):
x0rr писал(а):
существует ли такая биекция?


Доказывается, что указанные множества равномощны, а значит биекция существует.


Стоит вспомноить сферу Римана - биекция между сферой размерности n-1 и R^n

 Профиль  
                  
 
 R в R*R
Сообщение31.01.2006, 18:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
236
Не претендую на красоту изложения
В частном случае, при $n=2$ такой биекцией задаются функции Кантора.
Вначале делается все для дискретного случая, т.е. задается биекция $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N*N}$. Изпользуется тот факт, что $n=2^k(2l+1)$ и таким образом задается биекция $g(n)=(k,l)$.
На$\mathbb{R}$ ето расширяется путем еквивалентности множеств $\mathbb{R}$ и $2^{\mathbb{N}$ ; т.к. в свою очередь $2^{\mathbb{N}} \rightarrow 2^{\mathbb{N*N}}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.02.2006, 17:00 


19/01/06
179
для n=2 "красивая" биекция невозможна еще по такому соображению: множество действительных чисел является упорядоченным полем, в то время как множество комплексных чисел есть поле, которое нельзя упорядочить. Грубо говоря, неравенство не переносится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 02:10 


19/01/06
179
К сожалению только сейчас проклюнулся в памяти следующий вариант:

сперва будем рассуждать для прямой и двумерной плоскости. Для краткости, немного грубовато идея в следующем: каждому действительному числу можно сопоставить однозначно последовательность натуральных чисел. Значит паре действительных чисел соответствует пара таких последовательностей. Из пары последовательностей можно опять таки однозначно определенным способом получить одну последовательность. И уже этой последовательности опять будет соответствовать однозначным способом уже одно действительное число.
Аналогично в n-мерном случае.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 03:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Я как-то не уверенно себя чуствую с этим построением. Да, каждому вещественному числу можно сопоставить последовательность целых. (ZB: $a_n = \lfloor 2^n x \rfloor$.) Каждой паре последовательностей можно сопоставить новую последовательность -- например, беря по очереди четные и нечетные элементы новой последовательности из старых. Но откуда следует, что такая последовательность будет соответствовать какому-либо вещественному числу?

Поясните, пожалуйста, что я не уловил в Вашем построении.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 03:47 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Если между действительными числами и последовательностями определить биекцию, то все прокатывает, потому что каждой последовательности будет соответствовать ровно одно число.
Вот только определить именно биекцию, а не сюръекцию - технический момент, требующий аккуратности.

Хотя можно и не строить биекцию явно:
1. Строим биекцию между R и отрезком [0,1].
2. Сопоставляем каждому числу из [0,1] последовательность нулей и единиц. Таким образом, мощность [0,1] не превышает мощности множества последовательностей.
3. Каждой последовательности из нулей и единиц ставим в соответствие точку канторовского множества.
4. По теореме не помню кого (Кантора-Бернштейна?) это будет означать равномощность множества последовательностей и отрезка [0,1]. Следовательно, нужная нам биекция существует.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.02.2006, 07:20 


19/01/06
179
незванный гость писал(а):
:evil:
Но откуда следует, что такая последовательность будет соответствовать какому-либо вещественному числу?

Поясните, пожалуйста, что я не уловил в Вашем построении.



я был бы рад если бы это было мое построение, но, к сожалению, как я писал, я только вспомнил - Натансон И.П. "Теория функц. веществ. переменной", 1974г., стр. 25, следствие 1.
Если я правильно понял Dan_Te, он верно уловил идею, предложив слегка другое техническое решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group