2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Мощность множества иррациональных чисел
Сообщение19.04.2008, 23:10 


19/04/08
52
Помогите доказать, что мощность множества иррациональных чисел - континуум.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2008, 23:54 
Заслуженный участник


18/03/07
1068
Какова мощность множества действительных чисел? Какова мощность множества рациональных чисел? Можно ли, обладая такой информацией, сделать выводы о мощности множества иррациональных чисел?

 Профиль  
                  
 
 Мощность множества иррациональных чисел
Сообщение20.04.2008, 00:19 


19/04/08
52
Множество рациональных чисел счетное, мощность действительных чисел равна континуум!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2008, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Vikulyarus
Используйте то, что если множество $A$ бесконечно, а $B$ - не более чем счётно, то множества $A$ и $A\cup B$ равномощны.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.04.2008, 00:30 
Аватара пользователя


23/09/07
364
[joking]
:twisted: Вот придёт сюда Давидюк и покажет вам, еритикам! Ишь ты, множество иррациональных чисел континуально!
[/joking]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2008, 13:12 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
RIP писал(а):
Vikulyarus
Используйте то, что если множество $A$ бесконечно, а $B$ - не более чем счётно, то множества $A$ и $A\cup B$ равномощны.


Более общее утверждение выглядит так: если хотя бы одно из множеств $A$, $B$ бесконечно, то $|A \cup B| = \max \{ |A|, |B| \}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мощность множества иррациональных чисел
Сообщение22.04.2008, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
Vikulyarus писал(а):
Помогите доказать, что мощность множества иррациональных чисел - континуум.


А что, уже доказали что несчетность и континуум - одно и то же? :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2008, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Dan B-Yallay писал(а):
А что, уже доказали что несчетность и континуум - одно и то же?
Уже лет 40, как разобрались, что утверждение об отсутствии между континуумом и счетностью промежуточных мощностей можно считать аксиомой, которая не зависит от других аксиом аксиоматической теории множеств.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2008, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Но, вроде бы, к рассматриваемой задаче этот вопрос не имеет отношения? :wink:
Никто не спорит, что множество вещественных чисел равномощно множеству иррациональных? :roll:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2008, 19:27 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ох...

То, что бесконечных мощностей очень много, есть неоспоримый факт, никак не зависящий от континуум-гипотезы. К примеру, множество $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ всех подмножеств действительной прямой имеет мощность больше континуума. Множество $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$ имеет ещё большую мощность. И так далее.

Заблуждение, гласящее, что каждое несчётное бесконечное множество имеет мощность континуум, к сожалению, широко распространено. И не знаю, где как, а у нас студенту-первокурснику даже за намёк на подобное на экзамене намедленно ставится двойка. В частности, вопросы, подобные

Dan B-Yallay писал(а):
А что, уже доказали что несчетность и континуум - одно и то же? :shock:


раскручиваются, и если выясняется, что студент думает, будто это есть открытая проблема или недоказуемое утверждение, то он немедленно отправляется на пересдачу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.04.2008, 23:29 
Заслуженный участник


18/03/07
1068
А что, если попытаться запустить диагональную процедуру для доказательства несчётности множества иррациональных чисел (на отрезке)? Что бы такое интересное писать на этой диагонали, чтобы получающееся число было точно иррациональным :?:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2008, 05:40 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
luitzen писал(а):
А что, если попытаться запустить диагональную процедуру для доказательства несчётности множества иррациональных чисел (на отрезке)? Что бы такое интересное писать на этой диагонали, чтобы получающееся число было точно иррациональным :?:


Можно, конечно. Если записывать числа с десятичной системе, то можно одновременно и строить число, не входящее в нумерацию, и портить периодичность. С двоичной системой тоже проблем нет: за невходимость в нумерацию отвечают разряды с чётными номерами, за отсутствие периодичности --- разряды с нечётными номерами.

Можно и континуальность в явном виде доказать, тоже не проблема.

Только зачем всё это? Есть же замечательная формула: если $A$ бесконечно и $|B| < |A|$, то $|A \setminus B| = |A|$. Или автор темы таких формул не проходил? Ну пусть он тогда скажет об этом, после чего и будем голову ломать, как решать задачу с помощью палки и куска верёвки.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2008, 07:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Профессор Снэйп писал(а):
Или автор темы таких формул не проходил? Ну пусть он тогда скажет об этом, после чего и будем голову ломать, как решать задачу с помощью палки и куска верёвки.

В таком случае я бы предложил заменить палку на кусок мыла.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2008, 07:55 


29/01/07
176
default city

(Оффтоп)

к слову, профессор, я знаю студента мех-мат МГУ 3-го курса который не знает что такое континум, более того утверждает что ему в курсе м.а. про это понятие не рассказывали.. Мда.. Вот так вот =)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.04.2008, 09:52 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск

(Оффтоп)

Azog писал(а):
к слову, профессор, я знаю студента мех-мат МГУ 3-го курса который не знает что такое континум, более того утверждает что ему в курсе м.а. про это понятие не рассказывали.. Мда.. Вот так вот =)


Печально всё это. Я вот как-то тоже наблюдал студента 3-го курса ММФ, который не мог сформулировать определение предела последовательности.


P. S. Кстати, что-то автор темы больше здесь не появляется. Наверное, не нужно ему стало решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group