Линейные подпространства: какое шире?

[misha.physics]

arseniiv,

arseniiv в сообщении #1407415 писал(а):

Если они не накладывают ограничений, то в основном размерность будет бесконечная

Да, это мне интуитивно понятно, потому что разных (линейно независимых) функций можно брать сколько угодно (да одних только полиномов достаточно без ограничения по степени чтобы сделать пространство бесконечномерным), а значит и базис будет содержать сколько угодно элементов.

arseniiv в сообщении #1407415 писал(а):

но предлагается ли уточнять, какая именно бесконечная?

В условии об этом не говорится, я прилагал выше скрин. А что значит "какая именно бесконечная"?

arseniiv в сообщении #1407415 писал(а):

И если $\mathcal A$ будет всем отрезком, размерность будет очевидно нулевой.

Да, это мне понятно. Это первое, к чему я пришел.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1407417 писал(а):

В условии об этом не говорится, я прилагал выше скрин. А что значит "какая именно бесконечная"?

Например хотя бы счётная (как у $\mathbb N$, а также $\mathbb{Z, Q}$ или например как у множества многочленов с целочисленными коэффициентами $\mathbb Z[x]$) или какая-нибудь несчётная, т. е. больше счётной (в частности континуальная, как у $\mathbb R$ или его отрезков, или например $\mathbb C, \mathbb R^3$ или множества всех непрерывных на отрезке вещественных функций). А у множества всех функций $\mathbb R\to\mathbb R$ мощность тоже несчётная, но больше континуума.

misha.physics в сообщении #1407417 писал(а):

да одних только полиномов достаточно без ограничения по степени чтобы сделать пространство бесконечномерным

Да, просто одно дело полиномы, там базис счётный (например, $1, x, x^2, \ldots$), а другое дело когда в любой точке отрезка функция может иметь любое значение — точек континуум, так что и базис должен быть не менее чем континуальным, но если ещё учесть, что каждая функция должна представляться лишь конечной линейной комбинацией базисных, может получиться вроде даже больше континуума, а это немного страшновато в мире простых примеров.

UPD: Да, казус с \mathbb 3 поправил.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1407423 писал(а):

$\mathbb{C, R^3}$

$\mathbb{C},\mathbb{R}^3.$

[arseniiv]

(Тех)

Да, спасибо, мне ещё ЛС написали, приятно что кто-то читает.

Хотя $\mathbb3$ даже вполне в моём духе выглядит. Только вот про Крипке вспоминал. (А, не, вроде этот знак я не видел и там. Хм. Но кому он кроме логиков ещё понадобится?..)

[beroal]

misha.physics в сообщении #1407412 писал(а):

Когда речь идет о функциях, которые нельзя записать формулами, я могу себе представить функцию, как соответствие, когда каждому элементу какого-то множества ставится в соответствие элемент из другого множества. Например, каждому человеку на Земле можно поставить в соответствие его полный возвраст (выражаемый целым числом - в годах) на данный момент.

Но ведь функция — это частный случай отношения. Какое такое «соответствие»?

[misha.physics]

beroal, я, скорее, не стремился здесь к какому-то строгому употреблении слов, а выражал свое интуитивное понимание значения функции.

[Munin]

beroal в сообщении #1407965 писал(а):

Но ведь функция — это частный случай отношения. Какое такое «соответствие»? :-(

Ну простите, у нас вообще всё - частный случай множества. Что нам, из-за этого вообще все термины выкинуть?

[arseniiv]

Не, всё частный случай морфизма категории.