2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение28.07.2019, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
provincialka в сообщении #1407461 писал(а):
После обсуждения отдельно конечного и бесконечного случая на языке $\varepsilon-\delta$ вводится определение на языке окрестностей и показывается, что оно одинаковое в обоих случаях.

...где под окрестностями понимается что? Вряд ли здесь подразумевается "открытое (в топологическом смысле) множество, содержащее точку".

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение28.07.2019, 15:09 


17/07/19

55
Нашел любопытную теорему у Кудрявцева о пределе композиции 2-ух функций.
Цитата:
Теорема 6. Пусть $f:X\to\mathbb{R}, g:Y\to\mathbb{R}, f(X) \subset Y$ и существуют конечные или бесконечные пределы $$\lim\limits_{x\to x_0}^{} f(x) = y_0$$ $$\lim\limits_{y\to y_0}^{}g(y)$$ тогда при $x\to x_0$ существует и предел (конечный или бесконечный) сложной функции $g[f(x)]$, причем $$\lim\limits_{x\to x_0}^{}g[f(x)]=\lim\limits_{y\to y_0}^{}g(y)$$

Если понимать предел в терминах проколотых окрестностей, то эта теорема, вообще говоря, неверна. Теорема станет верной если, например, потребовать непрерывность функции $g$ в точке $y_0$. Так же можно потребовать, например, чтобы существовала проколотая окрестность точки $x_0$ такая что функция $f$ на пересечении ее области определения и этой проколотой окрестности не будет принимать значение, равное ее пределу (т.е. $y_0$ в обозначениях Кудрявцева). Это будет, очевидно, выполняться если предел функции $f$ будет равен $\pm\infty$.
Было бы интересно посмотреть на студента, который бы доказывал своему преподавателю, что предел композиции 2-ух функций равен пределу "внешней" функции и ссылался бы на учебник Кудрявцева :-)

P.S. То, что теорема верна в терминологии Кудрявцева, я в курсе.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.07.2019, 16:00 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Вопросы преподавания» в форум «Карантин»
В подобной ситуации нет никаких причин цитировать книги в виде скриншота. Наберите текст и формулы в последнем сообщении нормально (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.07.2019, 16:23 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Вопросы преподавания»

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение28.07.2019, 18:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Munin в сообщении #1407464 писал(а):
...где под окрестностями понимается что? Вряд ли здесь подразумевается "открытое (в топологическом смысле) множество, содержащее точку".


Ну, конечно, в первом семестре первого курса это было бы слишком сложно. Под окрестностью понимается просто интервал (для бесконечности, возможно, два интервала)

Пробовала я как-то дать студентам топологическое определение функции, непрерывной на множестве (что прообраз открытого открыт). Провал был полный, не поняли свершенно (тут у нас не МГУ и даже не мехмат...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение29.07.2019, 19:00 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
provincialka в сообщении #1407483 писал(а):
Ну, конечно, в первом семестре первого курса это было бы слишком сложно. Под окрестностью понимается просто интервал (для бесконечности, возможно, два интервала)

Открытые интервалы с центром в $a$ — это ещё не все окрестности точки $a$. Это база системы окрестностей. И мне кажется, инициатор темы говорит о базе системы окрестностей бесконечности, а не о системе окрестностей бесконечности.

Если уж мы заговорили о базах систем окрестностей, то до баз фильтров там рукой подать. База системы окрестностей любой точки есть собственная база фильтра. Предел функции в $a$ есть предел образа по $f$ базы системы окрестностей $a$. Точка $a$ является пределом базы фильтра $B$ тогда и только тогда, когда база системы окрестностей $a$ грубее $B$. Функция $f$ непрерывна в $a$ тогда и только тогда, когда $f(a)$ есть предел $f$ в $a$. Подставьте в эти рассуждения определение базы фильтра, образа базы фильтра, отношения «грубее-тоньше», и получите обычные рассуждения в стиле $\varepsilon$-$\delta$. Базы систем окрестностей должны быть понятнее, чем топология.

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение29.07.2019, 20:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
beroal в сообщении #1407689 писал(а):
Открытые интервалы с центром в $a$ — это ещё не все окрестности точки $a$.
Верно. Но во всех теоремах матанализа "найдётся такая окрестность, что..." можно заменить на "найдётся сколь угодно малая такая окрестность, что...", а поэтому под окрестностью достаточно понимать интервал (в многомерном случае открытый шар).

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение29.07.2019, 21:56 


17/07/19

55
beroal
beroal в сообщении #1407689 писал(а):
И мне кажется, инициатор темы говорит о базе системы окрестностей бесконечности, а не о системе окрестностей бесконечности.

Нет, я говорю о системе окрестностей бесконечно удаленных точке $\pm\infty$. Я имел в виду ровно то, о чем говорила provincialka.
provincialka в сообщении #1407461 писал(а):
После обсуждения отдельно конечного и бесконечного случая на языке $\varepsilon-\delta$ вводится определение на языке окрестностей и показывается, что оно одинаковое в обоих случаях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение30.07.2019, 11:21 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Nickname1101 в сообщении #1407754 писал(а):
Нет, я говорю о системе окрестностей бесконечно удаленных точке $\pm\infty$. Я имел в виду ровно то, о чем говорила provincialka.

Чтобы уже не было неясностей, можете описать ваши системы окрестностей на языке теории множеств?
  • Система окрестностей $\infty$, если эти окрестности в $\mathbb{N}$.
  • Система окрестностей $\infty$, если эти окрестности в $\mathbb{R}$.
  • Система окрестностей $-\infty$, если эти окрестности в $\mathbb{R}$.


-- Tue Jul 30, 2019 11:25:05 --

Anton_Peplov в сообщении #1407712 писал(а):
"найдётся такая окрестность, что..." можно заменить на "найдётся сколь угодно малая такая окрестность, что...",

По-моему, «сколь угодно малая» — это неформальное условие. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение30.07.2019, 12:53 


17/07/19

55
beroal
beroal в сообщении #1407816 писал(а):
Система окрестностей $\infty$, если эти окрестности в $\mathbb{N}$
На том уровне рассмотрения теории пределов, который я предлагаю, окрестности в $\mathbb{N}$ не нужны. Мы знаем, что $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$ (с оговорками, что в $\mathbb{R}$, какую бы модель мы бы ни взяли, содержится, конечно же, не само множество $\mathbb{N}$, а некоторое изоморфное ему множество; именно его и будем далее называть $\mathbb{N}$). Я предлагаю не выделять $\mathbb{N}$ как то отдельно среди всех $X\subset \mathbb{R}$.

Далее следует сделать оговорку про $\infty$; $+\infty$ и $-\infty$. Я считаю, что мы либо добавляем одну "бесконечность" без знака, либо 2 со знаком, но не все три сразу. Наибольшую ценность, на мой взгляд, представляет вариант с 2-мя "бесконечностями" со знаками. Поэтому, когда я предлагал
Nickname1101 в сообщении #1407358 писал(а):
Затем сведем 9 вариантов предела к одному определению.
я написал именно 9, а не 16.
beroal в сообщении #1407816 писал(а):
Система окрестностей $-\infty$, если эти окрестности в $\mathbb{R}$.
Обычное стандартное определение $U_\varepsilon(-\infty) := \{x\in\mathbb{R}|x < -1/\varepsilon\}$. Это определение удобно тем, что при уменьшении $\varepsilon$ уменьшается окрестность точки $-\infty$. С $+\infty$ аналогично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение30.07.2019, 13:50 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Nickname1101 в сообщении #1407841 писал(а):
Система окрестностей $-\infty$, если эти окрестности в $\mathbb{R}$. Обычное стандартное определение $U_\varepsilon(-\infty) := \{x\in\mathbb{R}|x < -1/\varepsilon\}$. Это определение удобно тем, что при уменьшении $\varepsilon$ уменьшается окрестность точки $-\infty$. С $+\infty$ аналогично.

То есть ваша система окрестностей равна $\{U_\varepsilon(-\infty)\mid \varepsilon\in \mathbb{R}; \varepsilon>0\}$. Дело в том, что определение системы окрестностей есть набор условий, и одно из этих условий говорит (рассматривая систему окрестностей точки $a$): «Для любых подмножеств $U, V$ множества $X$, если $U\subseteq V$ и $U$ есть окрестность $a$, тогда $V$ есть окрестность $a$». Подставьте $\mathbb{R}$ вместо $X$ в это условие, и увидите, что ваша система окрестностей ему не удовлетворяет. Зато она удовлетворяет условиям базы системы окрестностей. Просто такова терминология.

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение30.07.2019, 14:16 


17/07/19

55
beroal
Что-то Вы меня совсем запутали :-). Дайте пожалуйста определение "системы окрестностей". Я под словом "система" понимал просто синоним слов "система множеств". Но если вы про топологию и про фундаментальную систему окрестностей...

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение30.07.2019, 16:03 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Nickname1101 в сообщении #1407868 писал(а):
beroal
Что-то Вы меня совсем запутали :-). Дайте пожалуйста определение "системы окрестностей".

Семейство систем окрестностей $\bar{u}$ на $X$ — это семейство множеств множеств элементов $X$, индексированное множеством $X$, такое, что
  • для любой $x\in X$ и любой $U\in \bar{u}(x)$, $x\in U$;
  • для любой $x\in X$ и любых $U, U'\in \bar{u}(x)$ существует такая $V\in \bar{u}(x)$, что $V\subseteq U$ и $V\subseteq U'$;
  • для любой $x\in X$ существует $U\in \bar{u}(x)$;
  • для любой $x\in X$ и любой $U\in \bar{u}(x)$ существует такая $V\in \bar{u}(x)$, что $U\in \bar{u}(y)$ для каждой $y\in V$;
  • для любой $x\in X$ и любых таких $U, V\subseteq X$, что $U\subseteq V$ и $U\in \bar{u}(x)$, $V\in \bar{u}(x)$.

Nickname1101 в сообщении #1407868 писал(а):
Но если вы про топологию

Да, это характеризация топологии через систему окрестностей, могут также называть это «пространство окрестностей».

Nickname1101 в сообщении #1407868 писал(а):
Я под словом "система" понимал просто синоним слов "система множеств".

Ну, если так, то вы правы, у вас система окрестностей. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение30.07.2019, 16:08 


17/07/19

55
beroal
Можно еще один вопрос? :-) Дайте пожалуйста определение окрестности (в частности, окрестности точки в $\mathbb{R}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Структура раздела "Теория пределов" в курсе матанализа
Сообщение30.07.2019, 16:25 
Аватара пользователя


17/04/11
658
Ukraine
Nickname1101 в сообщении #1407893 писал(а):
beroal
Можно еще один вопрос? :-) Дайте пожалуйста определение окрестности (в частности, окрестности точки в $\mathbb{R}$).

Так называют элементы множества $\bar{u}(x)$. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group