2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 06:19 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Пусть $f(x) = x^2 + \frac{2}{\pi^2}\sin(\pi x)^2$. Докажите, что для всяких неотрицательных $a,b,c$ с условием $a+b+c=1$ выполняется неравенство:
$$f(a)+f(b)+f(c) \geq \frac{3}{4}.$$


Замечание. Если бы $f(x)$ была выпуклой, то неравенство Йенсена дало нам $f(a)+f(b)+f(c) \geq 3f(\frac{1}{3}) > 0.78 > \frac{3}{4}$. Однако, проблема в том, что $f(x)$ невыпукла на $[0,1]$.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 08:14 


05/09/16
11467
maxal
Калькулятор говорит что $f(0,17)+f(0,17)+f(0,66)\approx 0,42$
? f(x)=x^2+(2*Pi^(-2))*sin((Pi*x)^2)
%1 = (x)->x^2+(2*Pi^(-2))*sin((Pi*x)^2)
? f(0.17)+f(0.17)+f(0.66)
%2 = 0.4218499113728044513227431163

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 08:17 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
wrest, вы квадрат в аргумент синуса занесли, а он должен быть снаружи.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 08:34 


05/09/16
11467
maxal
То есть д.б. так?
$f(x) = x^2 + \frac{2}{\pi^2}\sin^2(\pi x)$

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 08:37 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
wrest, должно быть так как у меня написано. $\sin(\pi x)^2$ означает $(\sin(\pi x))^2$ если вам угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 09:06 
Модератор


13/07/17
166
 !  wrest

В задачах, в которых требуется что-то доказать, не приветствуются посты, сводящиеся к использованию калькуляторов и не содержащих идей, приближающих к решению задачи. За редким исключением, такие посты считаются бессодержательными. Прошу Вас не увлекаться ими.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 11:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
maxal в сообщении #1406548 писал(а):
$\sin(\pi x)^2$ означает $(\sin(\pi x))^2$ если вам угодно.

Обычно не означает. Это стоило уточнить.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 14:45 


11/07/19
17
Доопределим до выпуклой: $g(x)=f(x)+x^2-x.$
Тогда требуется показать, что $g(a)+g(b)+g(c)\geq (a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2+(c-\frac{1}{2})^2.$
По неравенству Йенсена: $g(a)+g(b)+g(c)\geq 3g(\frac{1}{3})=\frac{2}{3}+\frac{9}{2\pi^2}.$

-- 23.07.2019, 17:38 --

$a'=a-\frac{1}{2}, b'=b-\frac{1}{2}, c'=c-\frac{1}{2},\quad |a'|\leq \frac{1}{2}, |b'|\leq \frac{1}{2}, |c'|\leq \frac{1}{2}.$
Отсюда $a'^2+b'^2+c'^2\leq \frac{3}{4}<\frac{2}{3}+\frac{9}{2\pi^2}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 17:39 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
ziv, эх, выглядит красиво, но вот проблемка: $3g(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + \frac{9}{2\pi^2}$, а не то, что вы написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение23.07.2019, 19:47 


05/09/16
11467
ziv
Неравенство"на тоненького", так что такие грубые штуки как вы придумали -- не пройдут. Даже если натянуть "выпуклую оболочку", в виде отрезка прямой, то окажется, что там будет, к сожалению, меньше чем $3/4$

(Оффтоп)

Зеленым показана $y=f(x)$, красным $x=1/3$, синим $y=1/4$
Пунктир -- "выпуклая оболочка" - отрезок соединяющий вершины выпуклостей исходной функции (так прошла бы резинка, намотанная на $f(x)$, то есть ещё более близкую к исходной выпуклую функцию придумать никак нельзя.
Изображение
видно что красная и синяя линии пересекаются выше чем красная и пунктирная.
Так что метод дополнения исходной функции $f(x)$ до выпуклой - имхо не сработает в принципе.
P.S. Если, конечно, я верно "натянул резинку". Но вроде как на правильное место натянуто...

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение25.07.2019, 01:01 


05/09/16
11467
Смотрю можно ли как-то "в лоб".
Полагая $a=b=x;c=1-2x$ продифференцируем $f(a)+f(b)+f(c)=2f(x)+f(1-2x)$
Неимоверными затратами бумаги получаем $(2f(x)+f(1-2x))'=4\left(3x-1+\dfrac{\sin(2 \pi x) + \sin (4 \pi x)}{\pi}\right)$
Один из корней очевиден, $x=1/3$ и для него как уже указал ТС рассматриваемая сумма $\sum \approx 0,78 > 3/4$
Но вот если бы показать, что производная обращается в ноль только ещё в одном месте и для него $\sum > 3/4$, то добрых полдела было бы сделано. Осталось бы показать, что этот минимум глобальный (хотя и не очень ясно как :facepalm: ).

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение25.07.2019, 15:31 


11/07/19
17
maxal, мда, поспешил...

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение25.07.2019, 23:24 


05/09/16
11467
Глядя на синусы, есть ещё смутная догадка, что можно как-то использовать то, что поскольку $a+b+c=1$ то $\pi a;\pi b; \pi c$ -- это углы какого-то треугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение26.07.2019, 19:32 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Так как $$f''(x)=4\left(\cos2\pi x+\frac{1}{2}\right),$$
то получаем, что $f$ выпуклая функция на $\left[0,\frac{1}{3}\right]$ и на $\left[\frac{1}{3},1\right]$ и вогнутая на $\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right].$
Труднейший случай $0\leq a\leq\frac{1}{3}<b\leq\frac{2}{3}<c\leq1$ невозможен поскольку сумма переменных равна единице.
Поэтому две переменные должны попасть в один из промежутков.
Если это $\left[0,\frac{1}{3}\right],$ то применяя неравенство Йенсена, получаем неравенство от одной переменной.
Действительно, пусть $\{a,b\}\subset\left[0,\frac{1}{3}\right]$ и $\frac{a+b}{2}=x$.
Тогда $$f(a)+f(b)+f(c)\geq2f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(c)=2f(x)+f(1-2x)=2x^2+\frac{4}{\pi^2}\sin^2\pi x+(1-2x)^2+\frac{2}{\pi^2}\sin^2\pi (1-2x).$$
Остаётся доказать, что $$2x^2+\frac{4}{\pi^2}\sin^2\pi x+(1-2x)^2+\frac{2}{\pi^2}\sin^2\pi (1-2x)\geq\frac{3}{4}$$
или
$$6x^2-4x+\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^2}(2\sin^2\pi x+\sin^22\pi x)\geq0.$$
Не вижу простого доказательства.
Если это $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right],$ то применяя неравенство Караматы, получаем неравенство от одной переменной.
На промежутке $\left(\frac{2}{3},1\right]$ не могут оказаться две переменные.

 Профиль  
                  
 
 Re: как бы неравенство Йенсена для невыпуклой функции
Сообщение26.07.2019, 19:58 


05/09/16
11467
arqady в сообщении #1407212 писал(а):
Если это $\left[0,\frac{1}{3}\right],$ то применяя неравенство Йенсена, получаем неравенство от одной переменной. Оно получается очень тонкое:
$$6x^2-4x+\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi^2}(2\sin^2\pi x+\sin^22\pi x)\geq0.$$

А можно это пояснить?
Там минимум как раз во втором нуле производной о которой я писал выше,
$(2f(x)+f(1-2x))'=4\left(3x-1+\dfrac{\sin(2 \pi x) + \sin (4 \pi x)}{\pi}\right)$
Его я нашел численно. У вашей функции её значение там около одной тысячной. Как?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 52 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group