2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 15:07 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Пусть $f=x^p+y^p+z^p$, где $x,$ $y$, $z$ и $p$ положительны.
По $x+y+z,$ $xy+xz+yz$ и $xyz$ числа $x$, $y$ и $z$ определены с точностью до перестановки, а $f$ определяется однозначно.

Поэтому можно говорить о функции $f(x+y+z,xy+xz+yz,xyz)=x^p+y^p+z^p$.
Что это $\frac{\partial f}{\partial(x+y+z)}$, например, и как её посчитать? Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 15:51 


22/06/09
975
Ну у вас введены переменные $u=x+y+z,\,v=xy+xz+yz,\,w=xyz$. Вот от функции $f(u,v,w)$ и ищите производную по цепному правилу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 16:02 
Заслуженный участник


13/12/05
4516
$x,y,z$ -- неявные функции от $u,v,w$
Dragon27 в сообщении #1404754 писал(а):
$u=x+y+z,\,v=xy+xz+yz,\,w=xyz$
Дифференцируете эти равенства по $u$, получаете систему для нахождение $\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial x}{\partial u}$. Далее, $\frac{\partial f}{\partial u}=px^{p-1}\frac{\partial x}{\partial u}+py^{p-1}\frac{\partial y}{\partial u}+pz^{p-1}\frac{\partial z}{\partial u}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4317
Padawan в сообщении #1404758 писал(а):
Дифференцируете эти равенства по $u$

Думаю проще наоборот и взять обратную матрицу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 16:57 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Щас попробую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
arqady в сообщении #1404768 писал(а):
$\frac{\partial x}{\partial u}$ это $\frac{1}{\frac{\partial u}{\partial x}}$ что-ли?
Нет. С частными производными этот фокус, к сожалению, не проходит. Вам же советовали находить $\frac{\partial x}{\partial u}$ из системы уравнений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 17:05 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Someone
Да, я уже понял это. Щас попробую.
Кто-нибудь может проверить?
У меня получилось:
$$\frac{\partial f}{\partial u}=p\sum_{cyc}\frac{x^{p+1}}{(x-y)(x-z)}.$$
Могу выложить все выкладки, если кто хочет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 18:17 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Padawan в сообщении #1404758 писал(а):
Далее, $\frac{\partial f}{\partial u}=px^{p-1}\frac{\partial x}{\partial u}+py^{p-1}\frac{\partial y}{\partial u}+pz^{p-1}\frac{\partial z}{\partial u}$.

Кто-нибудь может объястить смысл этого равенства?
Это выглядит, как скалярное произведение... Если $f$ возрастает по $u$, то это скалярное произведение положительно. И что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите посчитать производную
Сообщение12.07.2019, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
4317
arqady в сообщении #1404779 писал(а):
Кто-нибудь может объястить смысл этого равенства?

$$\frac{\partial f}{\partial x^i'}=\frac{\partial f}{\partial x^j}\frac{\partial x^j}{\partial x^i'}$$
А матрица $\frac{\partial x^j}{\partial x^i'}$ обратна матрице $\frac{\partial x^j'}{\partial x^i}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group