2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диф.уравнение Бесселя
Сообщение31.01.2006, 10:00 


30/01/06
1
Помогите решить диф.уравнение 2-ого порядка:

(d^2/dz^2)+(1/z*dt/dz)-(1+(n^2/z))*t = 0

Это какой то частный случай уравнения Бесселя. Обратите внимание что Z в знаменателе в первой степени. (В общем случае уравнения Бесселя Z в степени 2).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 11:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/10/05
478
Казань
Не пробовали решение в виде степенного ряда искать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 14:16 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Sanyok писал(а):
Не пробовали решение в виде степенного ряда искать?


Я бы сначала попытался решить с помощью преобразования Лапласа.
(В приложении к моему учебнику (см. подпись) есть примеры, как это делать.)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 15:05 


08/12/05
21
Львов
Maple 10 для уравнения

d^{2}t(z)/dz^{2}+1/z\frac {dt(z)}{dz} - (1+\frac {n^2}{z})t(z) =0

выводит следующий результат


\mathit{ans} := \mathrm{t}(z)=\mathit{\_C1}\,e^{( - z)}\,\mathrm{
KummerM}({\displaystyle \frac {n^{2}}{2}}  + {\displaystyle 
\frac {1}{2}} , \,1, \,2\,z) + \mathit{\_C2}\,e^{( - z)}\,
\mathrm{KummerU}({\displaystyle \frac {n^{2}}{2}}  + 
{\displaystyle \frac {1}{2}} , \,1, \,2\,z)

Подстановка в уравнение дает 0=0

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/10/05
478
Казань
V.V. писал(а):
Sanyok писал(а):
Не пробовали решение в виде степенного ряда искать?


Я бы сначала попытался решить с помощью преобразования Лапласа.
(В приложении к моему учебнику (см. подпись) есть примеры, как это делать.)


А можно ли таким путем найти все линейно-независимые базовые решения? (сорри, не помню как они наз-ся, например для обычного ур-я Бессея - это функции Бесселя и Неймана). Я где-то читал, что если решение ур-я Бесселя искать в виде степенного ряда, то второе семейство решений (функции Неймана) таким путем не найдешь. Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 19:33 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Sanyok писал(а):
Я где-то читал, что если решение ур-я Бесселя искать в виде степенного ряда, то второе семейство решений (функции Неймана) таким путем не найдешь. Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

Найдешь, только нужно учитывать отрицательные степени

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 19:40 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Sanyok писал(а):
А можно ли таким путем найти все линейно-независимые базовые решения? (сорри, не помню как они наз-ся, например для обычного ур-я Бессея - это функции Бесселя и Неймана).

Фундаментальная система решений.

Sanyok писал(а):
Я где-то читал, что если решение ур-я Бесселя искать в виде степенного ряда, то второе семейство решений (функции Неймана) таким путем не найдешь.

Если показатель функции Бесселя целый, то да, не найдешь. Если нецелый, то все замечательно находится.

Sanyok писал(а):
Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

Вы имеете в виду случай целых $n$?

Есть несколько ответов на этот вопрос.

1. Если мы знаем одно решение уравнения второго порядка, то можем найти линейно независимое с ним по формуле Лиувилля-Остроградского.

2. Имеется теорема Фробениуса-Фукса, которая говорит, как искать решение в виде ряда для уравнения $t^ny^{(n)}+t^{n-1}a_1(t)y^{(n-1)}+\ldots+ta_{n-1}y'+a_n(t)y=0$, если все $a_i(t)$ аналитические в окрестности $t=0$. Вроде, эта теорема написана в книге Коддингтона и Левинсона. (В моей книге пока не написана. :()
В этой теореме четко говорится, когда и в какой степени в разложении должен встретиться логарифм.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.01.2006, 19:47 
Заслуженный участник


09/01/06
800
Аурелиано Буэндиа писал(а):
Sanyok писал(а):
Я где-то читал, что если решение ур-я Бесселя искать в виде степенного ряда, то второе семейство решений (функции Неймана) таким путем не найдешь. Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

Найдешь, только нужно учитывать отрицательные степени


Для целых не найдешь.
Если не ошибаюсь, имеет место равенство $J_{n}(t)=(-1)^nJ_{-n}(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диф.уравнение Бесселя
Сообщение31.01.2006, 22:15 
Заслуженный участник


09/01/06
800
СВ писал(а):
Помогите решить диф.уравнение 2-ого порядка:
(d^2/dz^2)+(1/z*dt/dz)-(1+(n^2/z))*t = 0
Это какой то частный случай уравнения Бесселя.


Я бы сказал, что это частный случай гипергеометрического уравнения. И даже вырожденного гипергеометрического уравнения - уравнения Куммера, которое записывается так:
$zu''+(\gamma-z)u'-\alpha u=0$.

Заменой $t(z)=e^{-t}u(z)$ Ваше уравнение приводится к
$tu''+(1-2t)u'-(n^2+1)u=0$...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.02.2006, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/10/05
478
Казань
V.V. писал(а):
Sanyok писал(а):
Кстати, вопрос - как же для уравнения Бесселя находят второе семейство решений (эти функции Неймана)?

Вы имеете в виду случай целых $n$?

Да, именно целых.
V.V. писал(а):
Есть несколько ответов на этот вопрос.

1. Если мы знаем одно решение уравнения второго порядка, то можем найти линейно независимое с ним по формуле Лиувилля-Остроградского.

2. Имеется теорема Фробениуса-Фукса, которая говорит, как искать решение в виде ряда для уравнения $t^ny^{(n)}+t^{n-1}a_1(t)y^{(n-1)}+\ldots+ta_{n-1}y'+a_n(t)y=0$, если все $a_i(t)$ аналитические в окрестности $t=0$. Вроде, эта теорема написана в книге Коддингтона и Левинсона. (В моей книге пока не написана. :()
В этой теореме четко говорится, когда и в какой степени в разложении должен встретиться логарифм.

Большое спасибо за ответ! Просто мне в свое время эти функции (Неймана) надо было вычислять, и пришлось немало потрудится, что бы найти, как это делается (нашел в справочнике Корна, который раздобыл с трудом).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group