Об векторном поле в декартовых координатах

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1399780 писал(а):

Мне пока сложно представить себе линейное пространство над полем $\mathbb{C}$ и говорить о базисе в этом пространстве (дающем размерность).

Это как раз будет удобно чисто алгебраически: как набольшее число линейно независимых векторов, которые можно выбрать в нём. Если этого определения ещё не было, оно будет дальше, но раз мы забежали вперёд, можно сразу заметить, что в $\mathbb C^1$ над $\mathbb R$ два вектора $1$ и $i$ линейно независимы, а над $\mathbb C$ нет, потому что один из другого получается умножением на $i$, так что размерности соответственно 2 и 1, а в случае $\mathbb C^n$ будет аналогично. Но вы не спешите, читайте книгу по порядку.

[misha.physics]

Munin в сообщении #1399762 писал(а):

Есть даже вообще страшный пример. Если взять множество $\mathbb{R}$ в двух вариантах:
- как линейное пространство $\mathbb{R}$ над полем $\mathbb{R}$;
- и как линейное пространство $\mathbb{R}$ над полем $\mathbb{Q},$ то в первом случае оно будет 1-мерное, а во втором случае - бесконечномерное!

Интуитивно догадываюсь, в чем тут дело. Не имея во втором случае возможности умножать элементы - вещественные числа на числа из поля действительных чисел, нам вообще говоря нужен базис из бесконечного числа элементов, так как коэффициентами разложения будут рациональные числа, а расскладывать мы можем захотеть, например, число $\pi$.

-- 17 июн 2019, 18:10 --

arseniiv в сообщении #1399784 писал(а):

можно сразу заметить, что в $\mathbb C^1$ над $\mathbb R$ два вектора $1$ и $i$ линейно независимы, а над $\mathbb C$ нет, потому что один из другого получается умножением на $i$, так что размерности соответственно 2 и 1

Я как раз в таком направлении и думал! :)

[arseniiv]

Это хорошо.

В общем «комплексная плоскость» с комплекснозначной точки зрения прямая. Просто когда мы привыкли к вещественным числам, в слове «прямая» одномерность сочетается с образом линии (связной, но если уберёшь из неё одну точку, она развалится на два отдельных куска), но в общем случае никакой линии точки одномерного линейного пространства не образуют: вот мы видим $\mathbb C$ над собой, где выкидывание точки не испортит связности, или вы потом можете узнать о конечных полях (как линейных пространствах над собой — тоже одномерных), где ситуация наверно даже хитрее.

[misha.physics]

Меня ещё мучает линейное пространство элементов - геометрических векторов. Мы выяснили, что под геометрическим вектором следует понимать множество векторов, коллинеарных, имеющих одинаковый модуль и направление. Т.е. это множество копий какого-то вектора, получаемое с помощью параллельного переноса. У этих копий будут различные точки приложения. Но как можно говорить о точках, если в линейном пространстве геометрических векторов точек нет? Понятно, что эти копии не являются элементами линейного пространства геометрических векторов. Элементами являются множества (классы) этих копий. Но зачем тогда вообще говорить, что каждый геометрический вектор это класс, если мы не можем заглянуть внутрь этого класса (и увидеть там коллинеарные векторы одинаковой длины и направления, но не наложенные друг на друга) в рамках нашего линейного пространства? Понятно, что в рамках только нашего линейного пространства мы можем говорить только об его елементах (классах), но не о том, что есть в них "внутри" (векторы с разными точками приложениям, полученные параллельным переносом какого-то конкретного вектора).

-- 17 июн 2019, 18:44 --

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве (в том, в котором могут жить и точки и векторы) мы рассматриваем всевозможные векторы в виде направленных отрезков. Из каждой точки этого евклидова (или евклидового?) пространства торчат всевозможные векторы с началом в данной точке. Теперь мы можем разбить все множество векторов во всем этом пространстве по ящикам-подпространствам (назовем их классами) таким образом, чтобы в каждом ящике оказались векторы, коллинеарные между собой, одинаковой длины и направления. Теперь мы говорим, что эти ящики (классы) это элементы линейного пространства геометрических векторов, где каждый геометрический вектор это ящик (класс), так?

-- 17 июн 2019, 18:50 --

misha.physics в сообщении #1399786 писал(а):

нам вообще говоря нужен базис из бесконечного числа элементов, так как коэффициентами разложения будут рациональные числа, а расскладывать мы можем захотеть, например, число $\pi$.

Интересно, будет ли такое разложение единственным. В этом случае мне это неочевидно.

-- 17 июн 2019, 19:15 --

Я что-то думал, что если мы рассматриваем векторы в аффинном пространстве, где есть и точки и векторы, то мы должны взять вектор в линейном пространстве и перетащить его в афинное, т.е. очень буквально все воспринимал. Выше написанное тому подтверждение.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1399794 писал(а):

У этих копий будут различные точки приложения. Но как можно говорить о точках, если в линейном пространстве геометрических векторов точек нет? Понятно, что эти копии не являются элементами линейного пространства геометрических векторов. Элементами являются множества (классы) этих копий. Но зачем тогда вообще говорить, что каждый геометрический вектор это класс, если мы не можем заглянуть внутрь этого класса (и увидеть там коллинеарные векторы одинаковой длины и направления, но не наложенные друг на друга) в рамках нашего линейного пространства?

Ну, как зачем — чтобы построить пример, классический пример векторов в геометрии. А остальное вы всё правильно говорите. Притом этот пример, в отличие от другого простого примера — координатных пространств $\mathbb R^n$ и т. д. — хорош ещё тем, что в так построенном пространстве нет выделенного базиса (а в координатных от него никуда не деться: у нас есть канонический «базис из нулей и единиц», координаты в котором равны соответствующим компонентам $n$-ки чисел.

misha.physics в сообщении #1399794 писал(а):

Теперь мы говорим, что эти ящики (классы) это элементы линейного пространства геометрических векторов, где каждый геометрический вектор это ящик (класс), так?

Да, тут вы всё верно понимаете, и вроде уже давно.

misha.physics в сообщении #1399794 писал(а):

Интересно, будет ли такое разложение единственным. В этом случае мне это неочевидно.

Линейная независимость базиса решит этот вопрос. Кстати заметьте, что все линейные комбинации — суммы конечного числа слагаемых, бесконечное число векторов туда не войдёт даже в случае бесконечного базиса.

[Someone]

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

Someone в сообщении #1399633 писал(а):

Пусть, например, $L$ — это плоскость. Разобьём её на параллельные прямые.

А как мы будем делать это разбиение? Разве это не будет иллюстрацией 2-го способа, когда мы задаем условия, которым должны отвечать элементы нашего множества, отнесенные к некоторому классу? Ведь когда мы говорим "на параллельные прямые", то здесь уже содержится условие.

Видите ли, какое бы разбиение ни придумать, Вы всегда можете сказать, что "здесь уже содержится условие".

(misha.physics)

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

И если плоскость это линейное пространство, то что является его элементами? Геометрические векторы?

misha.physics в сообщении #1399682 писал(а):

arseniiv в сообщении #1399629 писал(а):

Вообще когда говорят о свободных векторах, это и должны быть классы эквивалентности «фиксированных векторов» (хитроумное название для упорядоченных пар точек, множество которых мы факторизуем).

Т.е. один свободный вектор это один отвечающий ему класс эквивалентности, в который входит этот вектор и все его копии, получаемые параллельным переносом. Фиксированные векторы это элеметы принадлежащие какому-то из классов или фиксированный вектор это другое название для класса эквивалентности? Нашёл, что факторизация множества это разбиение этого множества на классы эквивалентных элементов. У нас множество это все свободные векторы, т.е. все классы, множество всех этих классов это фактормножество. Т.е. линейное пространство свободных векторов это множество классов с лин. операциями и т.д., т.е. фактормножество вместе с заданными на нем лин. операциями задает линейное пространство. Свободный вектор это то же что и геометрический?

Прочитав, что Вы пишете здесь и в других сообщениях, я пришёл к выводу, что Вы, так сказать, развлекаетесь. Поэтому далее я в этой теме появляться не буду.

[misha.physics]

Someone,

(Оффтоп)

Мне, честно, жаль, если мои сообщения показались таковыми. Простите. Я никоим образом не хотел развлекаться или отнимать у кого-то время или "троллить". Со стороны так может показаться, понимаю. Мне, когда я перечитываю то, что написал, тоже становиться стыдно за этот бред, но я искренее хочу разобраться, просто, ввиду своей импульсивности, я очень часто сначала пишу, а потом думаю. Это моя вина. И пробелы у меня большие. В любом случае, я благодарен вам за помощь и надеюсь, что этот рабочий момент со временем будет представлять только исторический момент

-- 17 июн 2019, 23:00 --

Следующий момент по тексту книги: "Определитель матрицы $B$ называется минором порядка $k$ данной матрицы $A$". Дальше идет определение: "Столбцы матрицы, пересекающие базисный минор, называются базисными столбцами". В первом случае под минором понимается определитель, т.е. число. А во втором, получается, под базисным минором (и вообще под минором) понимается квадратная матрица, поскольку столбцы матрицы не могут пересекать просто число (определитель). Т.е. зависимо от контекста под "минором матрицы" понимают или определитель квадратной матрицы или саму квадратную матрицу, да?

[Munin]

misha.physics в сообщении #1399777 писал(а):

$e$ - нейтральный элемент (примем, что он единый без доказательства)

Вообще-то это тоже можно (и при обстоятельном изучении - нужно) доказать.

В остальном - ваши доказательства, кажется, сырые, но правильные. Вам надо ещё поработать над тем, чтобы не смотреть на формулы как на формальные строчки символов, а видеть за ними элементы множеств и отображения. Ну, это приходит с опытом.

-- 18.06.2019 00:35:58 --

misha.physics в сообщении #1399794 писал(а):

Мы выяснили, что под геометрическим вектором следует понимать...

Мы? Нет, это вы там себе что-то такое "выяснили". А другие люди вам давали другие определения, но вы их предпочли проигнорировать.

-- 18.06.2019 00:45:59 --

misha.physics в сообщении #1399794 писал(а):

Но как можно говорить о точках, если в линейном пространстве геометрических векторов точек нет?

В математике распространено (не строго) такое словоупотребление, когда элементы любого пространства называются точками. В том числе и векторы - элементы линейного пространства - это точки в этом пространстве.

(Оффтоп)

Это немножко конфликтует с термином точечное пространство, но тут уж ничего не поделаешь.

Аналогично, элементы многих алгебраических систем называются числами. Но здесь граница более зыбкая и мне менее ясная. По крайней мере, числами называются элементы $\mathbb{C}$ и его подполей и подколец. Отдельно есть ещё кардинальные числа и ординальные числа. Кардинальными числами обозначаются мощности множеств, в том числе бесконечных.

misha.physics в сообщении #1399794 писал(а):

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве (в том, в котором могут жить и точки и векторы)

Извините, нет. От этого вам надо вылечиться резко и полностью. Векторы и точки никогда не живут в одном пространстве.

(Оффтоп)

Если вы знакомы с программированием на C, то есть такая аналогия. Есть типы int - целые числа, и T* - указатели. Целые числа "самодостаточны", их можно складывать и вычитать между собой. А к указателям можно прибавлять целые числа. Но не имеет никакого смысла прибавлять к указателю указатель. Можно только вычитать два указателя - результатом будет целое число.

-- 18.06.2019 00:51:59 --

misha.physics в сообщении #1399848 писал(а):

В первом случае под минором понимается определитель, т.е. число. А во втором, получается, под базисным минором (и вообще под минором) понимается квадратная матрица

Да, в этом (и в других аналогичных местах) смешаны понятия исходных данных для вычисления минора, и его значения. Но можно разобраться по смыслу текста.

Этим грешат почти все математические учебники, кроме самых-самых педантичных (или современных для старших курсов). Под минором, или определителем, или многочленом, или функцией, и т. п., часто понимают:
- формулу, задающую такой объект из исходных данных;
- формулу с подставленными значениями исходных данных;
- отображение данных в множество значений (как объект);
- процесс вычисления значения;
- и наконец, числовой результат.
Наиболее полный по содержанию смысл получается, если подразумевать везде "отображение как объект", и если от него нужны какие-то только частные его свойства - отбрасывать остальное.

[misha.physics]

Munin в сообщении #1399849 писал(а):

misha.physics в сообщении #1399794 писал(а):

Мы выяснили, что под геометрическим вектором следует понимать...

Мы? Нет, это вы там себе что-то такое "выяснили". А другие люди вам давали другие определения, но вы их предпочли проигнорировать.

Это я написал исходя из этого

arseniiv в сообщении #1399758 писал(а):

misha.physics в сообщении #1399753 писал(а):

Один геометрический вектор - это класс, множество векторов, которые являются коллинеарными, имееют одинаковый модуль и направление. Правильно?

Судя по употреблению в книге, да, геометрический вектор это то же что мы звали тут свободным. (Всё-таки как я и надеялся.) Но я бы всё-таки не стал называть пары точек векторами, так меньше путаницы.

Относительно доказательства единственности нейтрального элемента группы относительно сложения, то у меня получается так: $a+e_1=a$, $a+e_2=a$, значит $a+e_1=a+e_2$, запишем $(-a)=(-a)$, прибавим к этому почленно предыдущее $(-a)+a+e_1=(-a)+a+e_2$, получаем требуемое $e_1=e_2$. Здесь даже не потребовалось использовать, что обратный элемент к $a$, который обозначен через $(-a)$ единственный. Главное что $a+(-a)=(-a)+a=e$ (это есть в аксиоме). На этом етапе мы ещё были не доказали, что нейтральный элемент единый и могли получить, например, $e_1+e_1=e_2+e_2$ (или $e_1+e_1=e_1+e_2$), но из этого всё равно следует $e_1=e_2$. И прибавлял я здесь обратный элемент слева, так как не хотел пользоваться свойством коммутативности, оно ведь не входит в начальный набор аксиом группы. Я читал, что существуют абелевые группы, но не хотел здесь терять общность.

Я раньше читал несколько раз, в частности, линейную алгебру, но очень рвано. А сейчас пробую первый раз двигаться последовательно по той одной книжке, поэтому и начинаю уточнять даже кажущиеся элементарные и очевидные вещи. Я понимаю, что это может доставать.

Спасибо вам всем за помощь.

-- 18 июн 2019, 00:14 --

Munin в сообщении #1399849 писал(а):

Векторы и точки никогда не живут в одном пространстве.

Я думал, что в этом смысл аффинного пространства. Ну ладно, в этой книге оно позже рассматривается, может лучше подождать, когда дойду к нему.

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1399849 писал(а):

Если вы знакомы с программированием на C, то есть такая аналогия.

Знаком с C++, но на таком уровне, что указатели использовать не приходилось. Делал анимации, например, двойного маятника, маятника Капицы, задачу нескольких тел. Используя или интегрирование уравнений движения в Лагранжевом (для маятников) или в Ньютоновом формализме (для взаимодействующих с силами тел).

[Munin]

(Оффтоп)

misha.physics в сообщении #1399858 писал(а):

Знаком с C++, но на таком уровне, что указатели использовать не приходилось.

Ну можно вместо указателей использовать итераторы (скажем, указывающие в один и тот же std::vector).
Но смысл аналогии теряется, она предназначалась, чтобы объяснить менее знакомое через более знакомое, а тут это вряд ли будет так.

-- 18.06.2019 02:00:15 --

Насчёт единственности нейтрального элемента. Я всё-таки покажу "стандартное" доказательство. Ваши слишком уж сумбурные, они перестают казаться доказательствами.

Итак. Аксиома существования нейтрального элемента говорит, что это такой элемент (в рамках аксиомы обозначим его через $e$), что для любого элемента группы $x$ выполняется $x+e=x=e+x.$ (Операцию мы записываем как "плюс", хотя в абстрактной теории групп чаще её записывают как "умножить".)

Допустим, что в группе есть два нейтральных элемента, которые мы обозначим через $e_1,e_2.$ Нам надо доказать, что они совпадают, то есть, что это два имени одного и того же объекта. (Или же, если мы требуем, что они различаются, то придём к противоречию.)

Запишем выражение $e_1+e_2.$ Это тоже какой-то элемент группы.
Теперь применим аксиому нейтрального элемента к этому выражению, думая, что $e_1$ - нейтральный элемент. $e_1+e_2=e_2.$
Аналогично, применим ту же аксиому, но теперь думая, что $e_2$ - нейтральный элемент. $e_1+e_2=e_1.$
Записывая полученные тождества в цепочку, видим: $e_2=e_1+e_2=e_1,$ то есть $e_2=e_1.$
(В этом месте мы пользуемся транзитивностью тождественности.)
(Если бы мы потребовали, чтобы два нейтральных элемента различались, то здесь мы бы воскликнули: противоречие!)

Что и требовалось доказать.

Обратите внимание. Нет никаких "лёгким движением превращаются..." Каждое действие озвучено и обосновано из аксиом (группы, поля, отношения тождества). После школы это трудно, но в алгебре поначалу надо привыкать заново ко всему.
Второй момент. Вы записывали равенства для какого-то элемента группы $a.$ Но то, что верно для одного элемента - вовсе не обязательно будет верно для другого элемента! Так что, такое доказательство вынуждено будет потом отдельно доказывать, что всё это верно для любого элемента $a,$ то есть, что выкладки не зависят от выбора конкретного элемента $a.$ Это не всегда удобно.

----------------
В учебниках так подробно обычно не пишут, а пишут в одну строчку:
Допустим, есть два нейтральных элемента $e_1,e_2.$ Тогда $e_1=e_1+e_2=e_2,$ ч.т.д.

Подразумевается, что "разжевать до подробностей" читатель способен сам в уме, или вслух на экзамене. Но именно так это надо читать: разжёвывая до обоснования каждого перехода.

[arseniiv]

misha.physics в сообщении #1399858 писал(а):

Я думал, что в этом смысл аффинного пространства. Ну ладно, в этой книге оно позже рассматривается, может лучше подождать, когда дойду к нему.

Да, дождитесь; в аффинном живут одни точки, но с ним всегда связано линейное, вот там уже будут векторы, действующие на эти точки.

(Munin)

Munin в сообщении #1399849 писал(а):

Векторы и точки никогда не живут в одном пространстве.

Ну это вы зря так, есть немного смысла вкладывать связанные аффинное и векторное пространства в множество формальных линейных комбинаций из того и того (чуть факторизованного), это получится линейное пространство с естественной 1-формой, вложениям туда точек дающей 1, а вложениям векторов 0. Но здесь это конечно рано.

[misha.physics]

Munin в сообщении #1399863 писал(а):

Насчёт единственности нейтрального элемента. Я всё-таки покажу "стандартное" доказательство.

Понятно. Я забыл (хотя сам раньше это и писал), что аксиома группы $a+e=e+a=a$ уже включает коммутативность, если один из элементов нейтральный. Поэтому и пытался выкрутиться без этого.

Munin в сообщении #1399863 писал(а):

Вы записывали равенства для какого-то элемента группы $a.$

А если просто добавить вначале, что мы это записываем для любого элемента $a$? И потом берем соответствующий ему обратный и т.д.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1399910 писал(а):

Я забыл (хотя сам раньше это и писал), что аксиома группы $a+e=e+a=a$ уже включает коммутативность, если один из элементов нейтральный.

В принципе, в алгебре есть игры с ослабленными аксиомами. Например, если аксиому нейтрального элемента не записать таким образом, то возникает возможность иметь несколько нейтральных элементов, но по таким правилам:
- может быть несколько левых нейтральных, но ни одного правого;
- может быть несколько правых нейтральных, но ни одного левого;
- если есть левый нейтральный и правый нейтральный, то во-первых, и тот и другой единственны, а во-вторых, они совпадают между собой.
Кажется, чего-то ещё можно добиться, ослабляя аксиому нейтрального элемента, но используя в полном виде аксиому обратного элемента. Но вот тут я уже не в курсе.

Структуры, более слабые, чем группы, в математике изучаются, и у них есть куча названий и разновидностей:

(Оффтоп)

моноиды, полугруппы, лупы, магмы, группоиды...
но это всё - не "мэйнстрим" алгебры. Чем сильнее структура, тем более лёгкая и прозрачная получается теория, а чем слабее структура - тем более мутная и туманная ситуация. Бо́льшая часть алгебры посвящена группам и более сильным структурам, чем группы. Структура более слабая - встречается, но когда она входит в состав чего-то большего. Например, кольцо образует полугруппу по умножению, но при этом оно образует очень хорошую сильную структуру - абелеву группу - по сложению. Поэтому теория колец более прозрачная и мощная, чем теория групп.

misha.physics в сообщении #1399910 писал(а):

А если просто добавить вначале, что мы это записываем для любого элемента $a$? И потом берем соответствующий ему обратный и т.д.

Можно, но это нужно явно сделать. И после этого - вести себя аккуратно и ответственно в каждом шаге. А можно ли проделать какую-то операцию для любого элемента группы?

Эти вычисления в самом начале алгебры - они довольно просты "с формульной стороны дела". Но сами формулы - часто не работают по школьным правилам, а работают по каким-то другим, поэтому нужна большая внимательность с каждым шагом. Вот к этому нужно привыкнуть.

Ну а потом, когда вы очень много работали в некоммутативных группах, в кольцах, в линейных пространствах, в матрицах, у вас уже появляются новые алгебраические навыки, нешкольные. Самый главный: нельзя переставлять множители, и нельзя делить. Но иногда операцию записывают как "плюс и минус", а не "умножить и поделить", и вот принято делать это только тогда, когда слагаемые переставлять можно, и вычитать можно.

Школьные действия типа "всё сложим" и "всё перенесём" надо переводить на язык более детальных и разрешённых действий. Например, не бывает "перенесём из левой в правую часть". Бывает "прибавим в левой и правой части одно и то же". И тут надо соблюдать ещё один нюанс: прибавлять слева, или прибавлять справа, одинаково (кроме случая, когда можно за этим не следить).

[misha.physics]

Munin в сообщении #1399930 писал(а):

А можно ли проделать какую-то операцию для любого элемента группы?

Это риторический вопрос? Или это вопрос, который я должен сам себе задавать чтобы быть внимательным и аккуратным?

[misha.physics]

Основательно застрял на доказательстве второго утверждении леммы о базисном миноре.

Это все понятно

(image)

Это тоже

(image)

А с этого момента непонятно

(image)

Вот последная картинка с концом доказательства

(image)

"Зафиксируем $k$ и будем считать, что $i$ пробегает..." Я могу выбрать любое $k$ из $1,...,n$, т.е. любой из столбцов исходной матрицы, а не окамляющего минора, да?